Wieviele Kugeln sind in der Urne?

Question

Ich will mal ne Frage reinstellen die mal wirklich mathermatisch ist und mal schauen wer drauf kommt ^^

Wir haben eine abzählbare Menge Kugeln, das heißt also unendlich viele Kugeln, von denen jede mit einer natürlichen Zahl beschrifftet ist und auch jeder natürliche Zahl vorkommt. Eine Minute vor zwölf werden die Kugeln 1&2 in eine Urne gelegt. Eine halbe Minute vör Zwölf werden die Kugeln 3&4 reingelegt und die Kugel 1 entfernt. Allgemein werden zum Zeitpunkt 1/n Minuten vor Zwölf (n = 2,3,...) die Kugeln 2n-1 und 2n in die Urne gelegt und die Kugel n-1 entfernt. Wieviele Kugeln liegen um Zwölf in der Urne?

Bitte Antwort begründen und keine Anworten wie "Keiner kann in weniger als 1 mikrosekunden zwei Kugeln in eine Urne legen", es ist natürlich nur ein theoretisches Experiment. Wer die Aufgabe schon kennt bitte net spoilern ;)

Natürlich erreichen wir 12 Uhr nach nur abzählbar unendlich vielen Schritten, denkt mal net immer so endlich. Parallele Geraden schneiden sich auch, nur halt erst im unedlichen. Den Witz kenn ich schon, is aber gar net mal so schlecht ;)

Ok nochmal: Natürlich erreicht man 12 Uhr nicht nach endlich vielen Schritten, dies soll ja grade sicher stellen, dass der Vorgang unendlich oft wiederholt wird.

Ok: Die Urne ist natürlich unendlich groß

Also gut, lösen wir mal auf. Die Frage wird gerne im ersten Semester Mathematik-Studium gestellt, um den Studenten die mathematische Denkweise etwas näher zu bringen.

Die Antwort die die meisten mit ihrer Schulmathematik geben (war damals auch meine) ist: Die Anzahl an Kugel zum Zeitpunkt 1/n-Minuten vor Zwölf lässt sich mit der Folge x[n] = n+1 beschreiben. Es gilt lim(n->∞) x[n] = ∞ also liegen unendlich viele Kugeln in der Urne.

Einige haben dies soweit ja schon erkannt. Der Punkt ist, das der Limes, auch wenns nicht so ausschaut, zwar beliebig lange aber ENDLICHE Teilfolgen beschreibt. Man kann also nur Aussagen das nach endlich vielen Schritten, eine beliebig große Anzahl Kugeln in der Urne liegt, nicht was nach unendlich vielen Schritten geschieht.

Die richtige Antwort findet sich statt dessen ganz leicht, mit einfacher Logik und ohne Infinitisimalrechnung:
Keine (Begründung nächster Post)

Wenn eine Kugel in der Urne wäre, wäre sie mit einer Zahl beschrieben, sagen m. Allerdings kann ich sagen, dass sie genau einmal reingelegt wurde und danach genau einmal entfernt wurde, also kann sie nicht drin liegen. Ergo liegt keine Kugel in der Urne.

Die Aufgabe lehrt dem Studenten ein paar Dinge:
1. Die Vorstellung trügt manchmal
2. Man muss mit sauberere Logik arbeiten
3. Die Lösung ist manchmal einfacher als man denkt

Ich fand die Aufgabe im 1. Semester wahnsinnig spannend und interessant. Ich hoffe ein paar empfinden ähnlich und hatten ihren Spaß dran und ich konnte zeigen, dass Mathematik mehr ist als schnödes rechnen. Nix für ungut, falls sich jemand veräppelt fühlt, war nicht meine Absicht und ich hoffe ich werde weiterhin als Mathematiker ernst genommen ;)

Answer 1

ich sag keine kugel... ;)

Answer 2

also mathematisch betrachtet erreichen wir 12 uhr ja gar nicht ......

schöner mathematiker-witz dazu:
ein mathematiker und ein ingenieur sind bei einem psychologischen experiment: sie sitzen auf einem stuhl in der ecke eines raumes, in der gegenüberliegenden ecke ein bett mit einer sexy frau. der versuchsleiter erklärt dem mathematiker: alle fünf minuten werde ich den stuhl um die hälfte der verbleibenden entfernung richtung bett schieben. sie dürfen aber nicht den stuhl verlassen!
der mathematiker sagt: "nee, das halte ich nicht aus, ich werde die frau ja nie erreichen" und bricht das experiment ab.
dann ist der ingenieur dran. selbe erklärung!
"au ja," freut der sich, "fangen wir an".
da meint der versuchsleiter: "ist ihnen denn nicht klar, dass sie die frau nie erreichen werden?"
"jaaa," meint der, "theoretisch nicht, aber für alles praktische komme ich nah genug!"

Answer 3

Die Hälfte von allen, also unendlich viele.

Answer 4

zunächst einmal kann die aufgabe so nicht gelöst werden, da eine Angabe fehlt:
DIE GRÖßE der URNE!?!?!?
denn es können nur soviele Kugeln reingelegt werden, bis die Urne voll ist,
aber zu jedem Zeitpunkt, bis zu eben diesem (volle Urne) befinden sich n+1 Kugeln in der Urne,
da für 2 die reingelegt werden wieder 1 kugel entnommen wird.
nicht durch den ganzen 2n-1, 2n, n-1 Kram verwirren lassen, denn die zahlen werden nur benötigt, um die Kugeln zu beschriften!!!
für die Rechnung sind diese Angaben völlig unerheblich!
gehen wir nun davon aus, das der Raum der Urne als unendlich groß anzunehmen ist, dann befinden sich auch unendlich (immer noch n+1)viele kugeln in der urne

Answer 5

Entweder ich versteh den Witz nicht, oder das ist wieder eine dieser 1/n Aufgaben die mit der Verwirrung spielt die der *mathematisch abstrakte Begriff* unendlich verusrachen kann, wenn man ihn nicht richtig verstanden hat und undurchführbare Gedankenexperimente vorschlägt.

Du addierst jedesmal effektiv eine Kugel und widerholst das unendlich oft. Also ist die Summe unendlich. Willst Du jetz auf alternierende Reihen hinaus, also 1+1-1+1-1+1+...?

Das kannst Du nicht geltend machen, Du hast eine Klammerung vorgegeben (2-1)+(2-1)+(2-1)+ ... und unabhängig davon ist diese Reihe auch nicht alternierend: 2-1 und 1+2 sind beide größer Null.

Was soll der Unsinn?

Peanos Lampe ist wenigstens noch insofern witzig, als das da tatsächlich unsere physiklaische Realität uns davon trennt zu erfahren ob die letzte natürliche Zahl gerade oder ungerade ist, und wir daraus lernen können mit mathematischen Abstraktionen vorsichtig umzugehen.

Aber, tut mir leid, hier sehe ich den Witz einfach nicht.

Also bitte: Erleuchte uns, aber sei auch nicht böse wenn ich, sollte mich die Pointe nicht wirklich überraschen, Dich mathematisch nicht mehr ernst nehme.

Answer 6

Im Prinzip unendlich viele, denn es sind unendlich viele Vorgänge vor 12 Uhr möglich.

Aber die Menge Kugeln beträgt zu jedem beliebigen Zeitpunkt nach 11:59 Uhr immer "n+1"...

Answer 7

Das haengt davon ab, wie groß dir Urne ist und wie groß die Kugeln sind. Wenn die Urne voll ist, passt halt keine weitere Kugel mehr rein, egal wie spaet es ist.

Answer 8

da braucht man doch keine mathematik etwas logik reicht
zu jedem zeitpunkt legst du 2 kugeln rein und nimmst eine raus damit ist das ganze drumherum mit 2n-1,2n und n-1
doch unwichtig
zum zeitpunkt 1/n minuten kommt eine kugel hinzu
wenn du das ganze als unendliche reihe siehst liegen am ende unendlich viele kugeln in der urne

Answer 9

Ich geh mal semi matematisch an die sache ran.
Also für jedes n tu ich also 2 Kugel und hohl eine raus. Nur am anfang Nicht (n=1) ich denke dann sollten n kugeln drin sein, oder?
Hab jetzt kein Stift und Zettel zu Hand sonst würde ich mir das mal als Summe aufschreiben und gucken was dann passiert, ob ich mir was rauskürzen kann!

Answer 10

Da sag ich mal mit dem Haifisch aus NEMO: Höö?? Dös check' I net!