Pourquoi les puissances de 3?

Question

Pour peser un objet posé dans le plateau gauche d'une balance Roberval en le contrebalançant avec des poids posés dans le plateau droit, on peut utiliser un jeu de poids correspondant aux puissances de 2.
Mais si on se donne le droit de poser les poids dans les 2 plateaux, on peut utiliser un jeu de poids correspondant aux puissances de 3.
Connaissez-vous une démonstration élégante? (Pas moi)

Answer 1

Supposons que tu cherches à peser N
N se décompose en base 3
N=a(0)+a(1)*3+a(2)*3^2+...+a(n)*3^n
chacun des a(i) vaut 0, 1 ou 2
On commence par i=0 puis on continue avec i=1 etc...
Si a(i)=2, on le remplace par -1 et on ajoute 1 à a(i+1)

Quand le processus se termine
on a N=a(0)+a(1)*3+a(2)*3^2+...+a(n)*3^n
où a(i)= -1 ; 0 ou 1
Les a(i)=-1 sont sur le même plateau que N
les a(i)=0 n'apparaissent pas
les a(i)=1 sont sur l'autre plateau que N
Par construction de la décomposition, on a bien équilibre.

Un exemple pour que cela soit plus clair
pour peser un objet de masse 100
100=81+2*9+1=3^4+2*3^2+1
On le réécrit:
100=81+27-9+1
Donc on a l'équilibre:

[Objet+9] = [81+27+1]

Voilà, voilà
_______________________________________________

Remarque on peut directement obtenir la décomposition sans passer par la première étape, on faisant des divisions successives en s'arrangeant pour avoir un "reste" égal à 1, 0 ou -1. (c'est à dire en autorisant un reste négatif, le plus petit possible en valeur absolue)

Answer 2

quand on exprime un nombre en base 2, il n'est composé que d'un seul élément de chacune des puissances, puisque ce ne sont que des 0 et des 1
donc en aditionnant des puissances de 2 on peut faire n'importe quel nombre
1 = 1
2 = 2
3 = 1 + 2
4 = 4
5 = 1 + 4
6 = 2 + 4
7 = 1 + 2 + 4
etc...

avec les puissances de 3, on a 2 valeurs possible pour passer d'une puissance à l'autre (0, 1, 2)
si on utilise un seul poids de chaque puissance pour faire la pesée, le 2 d'une puissance donnée s'exprime avec le 1 de la puissance suivante moins le 1 de la puissance actuelle (2 = 10 - 1 en base 3)
en exprimant les valeurs en base 3, on peut facilement trouver la combinaison qui donne l'équilibre
donc on pèse comme ça
1 = 1
2 + 1 = 3
3 = 3
4 = 3 + 1
5 + 3 + 1 = 9
6 + 3 = 9
7 + 3 = 9 + 1
8 + 1 = 9
9 = 9
10 = 9 + 1 (on repart comme avec le 1 en ajoutant 9)
11 + 1 = 9 + 3 (là c'est comme avec le 2)
etc...

cela dit, si on a une balance avec les poids et qu'on cherche à faire l'équilibre sans connaître la valeur à trouver, on est obligé d'y aller à tâtons (un coup on ajoute d'un côté, on coup de l'autre)

c'est donc faisable mais ça n'est pas "pratique"

Answer 3

On peut par exemple le démontrer par récurrence.
Montrons qu'avec n poids de masse 1 à 3^(n-1) on peut peser tous les objets dont la masse (entière) est comprise entre 0 et Sn=(3^n-1)/2.
La propriété est vraie pour 1 poids (Sn=1).
Supposons la vraie pour un entier n.
Si l'on dispose d'un (n+1)ème poids de masse 3^n
on peut peuser en plus tous les poids entre
3^n-Sn et 3^n+Sn (puisqu'on peut ajouter et retrancher n'importe quelle masse entre 0 et Sn à l'aide des autres)
or 3^n-Sn=3^n-(3^n-1)/2
=(2*3^n-(3^n-1))/2
=(3^n+1))/2
=Sn+1
et
3^n+Sn
=3^n+(3^n-1)/2
=(2*3^n+(3^n-1))/2
=(3^(n+1)-1))/2=S(n+1)
On peut donc peuser toutes les masses entre 0 et S(n+1).
La propriété est donc vraie pour tout n.

Answer 4

2^n= (3-1)^n , utilise la formule du binome de newton, je pense que c'est une bonne piste.

En tout cas si tu ecris ton nombre en binaire, tu obtiendra la manipulation a faire pour equilibrer un objet de masse connue.