Densité étonnante !?

Question

On a appris que l'ensemble des rationnels et celui des irrationnels sont denses dans IR.En effet entre deux rationnels il y a une infinité d'irrationnels et réciproquement.Par contre Q est dénombrable(c-à-d on peut compter ses éléments sans sauter)
et IR-Q ne l'est pas .inconcevable !

Answer 1

@ pedrito
Q n'est pas fini, il est dénombrable. Ca signifie qu'on peut définir une bijection entre Q et IN.

sinon pour répondre à la question, comme les autres ça me semble normal que si l'on enlève un ensemble dénombrable (bien qu'infini) à un ensemble non dénombrable, on obtienne un ensemble non dénombrable.

Ce qui serait étrange, ce serait que IR \ Q soit dénombrable. Cela voudrait dire que IR est lui-même dénombrable (car l'union de 2 ensembles dénombrables est dénombrable)

En effet (IR \ Q) U Q = IR

Answer 2

c'est pas inconcevable que de retirer une quantité dénombrable à un ensemble indénombrable donne un ensemble indénombrable...

Answer 3

Considère la mer comme ayant un niveau d'eau infini, retires en un litre. tu à retiré une quantité dénombrable mais le niveau de la mer est toujours infini, ou si tu préfères l'infini -1 litre mais ça reste toujours l'infini.

Answer 4

Qu'est ce qui te pose problème exactement ?

Answer 5

je comprends pas comment on peut dire que q est dénombrable?
vu qu'il y a une infinité de nombres, on peut démontrer qu'entre deux éléments de q il en existe toujours un autre qui est la moyenne des deux (ou n'importe quelle autre fraction)

par conséquent je crois pas qu'on puisse démontrer qu'il existerait un infini plus grand qu'un autre infini

Answer 6

Retirer quelque chose de fini à l'infini ne modifie pas vraiment l'infini. Finalement.