Les deux champs?

Question

Maître Perrot et Maître Grinchois ont des champs rectangulaires.
Celui de Maître Perrot a une surface et une longueur moindres que celui de Maître Grinchois.
A-t-il nécessairement un périmètre moindre?

@zoulou974:
Tu t'es gourré dans ton champ 2, il a une largeur plus grande que sa longueur

@tous:
Je cherche une démonstration concise et limpide...

@Archange: Attention à respecter dans les calculs les contraintes li

@Raymond: Bravo, mais je cherche beaucoup plus simple...

@6th element:
Excellent début...

Answer 1

Les notations :
Lp : longueur du champ de Maître Pierrot
lp : largeur du champ de Maître Pierrot
Lg : longueur du champ de Maître Grinchois
lg : largeur du champ de Maître Grinchois
Les données de base :
(1) Lp.lp < Lg.lg
(2) Lp < Lg
(3) lp < Lp
(4) lg < Lg
Comme Lp > 0, on peut réduire (1) par Lp en écrivant :
(5) lp < lg.(Lg/Lp)

Faisons un raisonnement par l'absurde et prenons comme hypothèse que nous pouvons avoir les 2 champs de même périmètre (juste ça, même pas la peine de chercher à ce que le premier soit plus grand), on pose donc :
Lp+lp = Lg+lg (j'ai déjà réduit par 2 pour l'égalité des demi-périmètres)
=> (6) lg = Lp - Lg + lp
En utilisant (6) dans (5), on a donc :
lp < (Lg/Lp).(Lp - Lg + lp)
Comme Lg/Lp>0, on peut réduire par Lg/Lp et obtenir
=> (Lp/Lg).lp < Lp - Lg + lp
En soustrayant par lp de part et d'autres, on obtient :
=> ((Lp-Lg)/Lg).lp < (Lp-Lg)
Hors d'après (2) Lp-Lg < 0, donc on peut réduire par (Lp-Lg) de part et d'autres en faisant attention au changement de signe
=> lp/Lg > 1
=> lp > Lg
Hors d'après (3) et (2), on a :
lp < Lp < Lg ce qui est contradictoire.

Notre hypothèse de base qu'il pouvait y avoir le même périmètre pour les 2 champs était donc fausse.
A fortiori, le champ de Maître Pierrot ne peut donc vraiment pas être supérieur au champ de Maître Grinchois.


Pour être complet, avec Lp+lp > Lg+lg comme hypothèse :
On sait que
Lg.lg > Lp.lp
=> lg > Lp.lp/Lg
=> Lg+lg > Lg + Lp.lp/Lg
Comme Lp+lp > Lg+lg (hypothèse)
=> Lp+lp > Lg + Lp.lp/Lg et on retombe sur le cas exposé ci-avant pour retomber sur l'absurdité.

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En beaucoup plus simple, mais je trouve moins rigoureux :
La seule manière pour le champ Pierrot d'avoir un périmètre dépassant celui de Grinchois, étant donné que sa longueur est plus petite, c'est que sa largeur soit plus grande que celle de Grinchois pour compenser. Et donc plus approchante de la taille de la longueur que cela n'est le cas pour le champ Grinchois. En bref, il faut que le champ Pierrot ait l'air plus carré que l'autre.
Le soucis, c'est que pour 2 champs de même périmètre, le plus carré aura la plus grande superficie. Alors si le champ Pierrot n'a ne serait-ce que le même périmètre que celui de Grinchois, il sera forcément plus "carré" et aura de fait une plus grande surface. Hors Grinchois a une plus grande surface. Donc Pierrot ne peut avoir un champ de même périmètre et a fortiori plus grand.

En ce qui concerne la "grande" superficie d'un carré par rapport à un rectangle, il suffit d'écrire :
l = p-L où p est le demi-périmètre du rectangle
La surface l.L = (p-L).L = pL-L²
Pour trouver le maximum de la surface, il suffit de voir que la dérivée de cette fonction est : p-2L et est nulle en L=p/2. La surface atteint donc son maximum en L = p/2, donc quand L=l.
Donc pour un carré.

Answer 2

Ce n'est pas un peu comme dans le "problème de didon"?

Answer 3

Un raisonnement à la limite en ne supposant pas que la largeur est plus petite que la longueur.
La largeur du champ de Maitre Perrot peut être infinie avec une longuueur nulle et donc une surface nulle. Son périmètre est infini, tout autre champ a un périmètre moindre.

Answer 4

P1=2L1+2l1
P2=2L2+2l2
S1=L1l1
S2=L2l2
On a de plus S1
Si P1=2P2,alors L1+l1=2L2+2l2 Donc L2+2l2 Donc L1L2+2L1l2 Donc L1L2
Soit f(x)=xy/(y-2x)
f'(x)=(y(y-2x)+2xy)/(y-2x)^2
=(y/(y-2x))^2 (ne s'annule que si y=0)
Donc f est croissante.
f(0)=0
Donc L1L2/(L2-2L1)>0 et l2>L1L2/(L2-2L1) convient.
On a donc trouvé l2 tel que P1=2P2.
Ce qui est un contre-exemple.

Answer 5

1e reponse, fausse :
NON. Contre exemple : si tu prends Lg=10, lg=10, tu as Sg=100 et Pg/2=20 ; en prenant Lp=5, lp=19, tu as Sp=95 et Pp/2=24. Tu as bien le champ de Perrot plus petit en surface et longueur, mais plus grand en perimetre.
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Ah pardon mauvais reflexe de matheux, j'en avais rien à foutre des noms. On impose donc li<=Li. Et du coup, c'est OUI. Preuve par une petite analyse de fonctions : (faites un dessin).

x represente des largeurs, y des longueurs.
Une fois que tu as étudié un peu S(x,y)=xy et P(x,y)=2(x+y), pour x>0, y>0 et y>x, tu te rends compte qu'elles ont les propriétés suivantes :
-les hautes valeurs sont "en haut à droite"
-les équipotentielles S=cte sont des hyperboles : y=S/x, tandis que les équipotentielles P=cte sont des droites : y=(P/2)-x.

Bon maintenant si on se place en un point quelconque du "2e huitième de plan" (le domaine défini plus haut), disons M(l,L) ; il est sur une équipotentielle de chaque (S et P), qu'on visualise. On s'impose de diminuer L=y et S, donc de passer dans la zone encadrée par 1)droite y=x, 2)hyperbole y=S/x, 3)droite y=L, 4)droite X=0.Alors on est "sous" la droite" P(x,y)=P(l,L). Autrement dit, P diminue.
***
Le pourquoi physique.
Intuitivement, on se dit que l=S/L, et, les deux diminuant, on pourrait quand même avoir l qui augmente, et peut-être suffisamment pour compenser la diminution de L dans le périmètre. Mais il faut noter qu'on diminue le plus grand coté, et donc qu'on se "rapproche du carré". Or le carré, on le voit si on a fait le dessin, maximise la surface, à périmètre fixé. En gros, chez les carréïdes, diminuer la surface diminue le périmètre. Moralité : ben le périmètre devrait diminuer.
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Edit du 28-6, 18h40.

@Raymond : ben OK, mais pourquoi tu fais pas tout d'un coup ? Ca donne :
Donnees : Lp.lp (1) se reecrit Lplp/Lg< lg (1').

Supposons que Lp+lp >= Lg+lg. Alors lg<=Lp-Lg+lp (6).
En comparant avec (1'), on trouve que
Lplp/Lg < Lp-Lg+lp. ("clef")
Sur cette inegalite, on soustrait lp, on reduit le membre de gauche au mm denom, on divise par Lp-Lg strictement negatif selon (2) , et on tombre sur lp/Lg>1 cad
Lg Vu que lp ____________________________
Edit du 29/6, 8h.
Ok je pense avoir une explication géométrique. Mais c'est pas évident sans pouvoir dessiner ... tant pis.

Dessinons un grand rectangle ABCD qui est le champ de Grinchois, AB étant une longueur. On va construire le champ de Perrot A'B'C'D' en prenant A'=A et A'B' selon AB, en faisant en sorte que A'B' soit la longueur, et en augmentant sa largeur (sans augmenter la largeur c'est clair que le périmètre diminue ...).

On réduit la longueur du champ, en coupant par B' sur [AB] et C'' sur [CD]. On doit faire en sorte de conserver AB'>AD(=B'C'')
On enlève temporairement la partie B'BCC'', d'aire S. On veut que le champ de Perrot ait une largeur plus grande, il faut juste que son aire soit plus petite. Donc notre morceaux retiré, on va pouvoir l'étaler et le coller au dessus de [DC''].

Remarquons qu'en enlevant le morceau on réduit le demi-périmètre de B'B. Qu'on ne sait pas quel coté est longueur de ce rectangle, mais qu'on sait que AD=B'C''
On déplace notre rectangle en le faisant tourner de 90° et on colle le point qui était en C'' sur D. On note D' la position de l'ex sommet C et C' celle de l'ex sommet B.
Puisque C''B'B pour qu'il colle bien à [DC""].
Si on garde son aire constante (ce qui est la diminution limite), on diminue donc sa taille dans le sens A->D (côté [DD']), et c'est d'autant plus vrai si S diminue. Donc DD'
Ce faisant entre AB'C''D et A'B'C'D', on a augmenté la largeur, donc le demi périmètre, de DD' Ainsi entre le champ ABCD et A'B'C'D', le demi périmètre a augmenté de DD'-BB'<0. C'est à dire qu'on a diminué le (demi-)périmètre.

Answer 6

oui
si grinchoix a sg de surface et Lg de longueur
la largeur lg = sg / Lg
soit ds la différence de surface et dL celle de longueur
largeur du champ de perrot lp = (sg-ds) / (Lg-dL)

avec ça, on pourrait supposer dL très proche de Lg qui donnerait une grande largeur donc éventuellement un grand périmètre
sauf...
que sans un rectangle la largeur étant plus petite que la longueur
avec une savante combinaisons d'inégalités on peut pas avoir de périmètre plus grand pour le plus petit rectangle

Answer 7

non

tu poserais pas la question sinon :p