Un nombre entier est-il toujours la somme ou la différence de deux carrés "parfaits"?

Question

Précisions : Un nombre naturel est-il toujours la somme ou la différence de deux carrés de nombres réels ?
pe : 6=(5/2)^2-(-1/2)^2

Answer 1

ATTENTION, tu viens de changer quelque peu le problème en indiquant qu'on pouvait utiliser des nombres REELS à élever au carré pour en définir un nombre naturel quelqu'il soit en en additionnant 2 ou en en soustrayant 2. Dans ce cas-là tout est possible effectivement.

Je peux même te proposer de te limiter aux nombres qui peuvent être soit des naturels, soit des moitiés de naturel.
Qu'est-ce que cela implique ? Tout d'abord mettons en équation en prenant le problème de la soustraction :
n = (p/2)² - (q/2)²
avec p et q des entiers naturels, pour lesquels rien n'empêche a priori d'être pairs, et donc de donner p/2 et q/2 éventuellement naturel aussi en cas de chance.
Développons l'équation :
n = p²/4 - q²/4
=> n = (1/4).(p²-q²)
=> 4n = p²-q²
=> 4n = (p+q).(p-q)
Si tu prends (au hasard ;-))
p = n+1
q = n-1
Tu auras
(p+q).(p-q) = (n+1 + n-1).(n+1 - n+1)
= (2n).(2)
= 4n
En bref, pour tout n entier naturel, tu pourras soustraire les carrés de (n+1)/2 et (n-1)/2 et retomber sur le résultat.

Si on prend n=7
(n+1)/2 = 4
(n-1)/2 = 3
4²-3² = 16-9 = 7

Si on prend n=14
(n+1)/2 = 15/2
(n-1)/2 = 13/2
(15/2)²-(13/2)² = (1/4)(15²-13²)
= (1/4)(225-169)
= 56/4 = 14

Et pour reprendre ton exemple de n=6, tu vas voir qu'il y avait une autre solution (celle proposée par Angélique finalement)
(n+1)/2 = 7/2
(n-1)/2 = 5/2
(7/2)²-(5/2)² = (1/4)(7²-5²)
= (1/4)(49-25)
= 24/4 = 6


Mais je ne sais pas si ici on peut parler de carrés "parfaits" comme tu l'indiquais dans le titre de ton problème initial.

Answer 2

Non 6 est un contre exemple

6 n'est pas la somme de 2 carrés (évident)
Si 6=a^2-b^2
alors 6=(a+b)(a-b)
2 cas possibles a+b=6 et a-b=1 impossible
ou a+b=3 et a-b=2 impossible

Answer 3

Ce n'est pas vrai !
6 est le premier nombre qui ne convient pas.

6 n'est pas la somme de 2 carrés (il y a peu de cas a étudier)
Si on avait 6=a^2-b^2 avec a et b entiers naturels
alors 6=(a+b)(a-b)
Comme 6 se décompose de 2 façons en produit 6=6*1=3*2
2 cas possibles a+b=6 et a-b=1 => a=7/2 impossible
ou a+b=3 et a-b=2 => a=5/2 impossible

Answer 4

n'importe quel nombre impair est la différence de deux carrés consécutifs
(2n+1) = (n+1)^2 - n^2
1, 3, 5, 7, 9....

par contre pour les nombres pairs ça marche pour 1 sur deux à coup sûr
4n + 4 = (n+2)^2 - n^2
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ....

il reste ceux qui sont la somme de deux carrés impairs
de la forme
8n + 2
(la formule est différente selon que n est pair ou impair)
2, 10, 18, 26, 34,

mais pour les autres de la forme
8n + 6
c'est pas le cas
6, 14, 22, 30, 46, ....


de toute manière la réponse à la question est
"non"

Answer 5

La somme, non.
Pour la différence, c'est moins clair.

Answer 6

tu veux dire un nombre premier?? c la somme de deux carrés parfaits
sinon en effet c la meme chose

Answer 7

ca revien au meme...

Answer 8

Si les nombres premiers le sont, alors c'est vrai pour tous les entiers car il suffit d'utiliser l'unes des relations avec une des composantes de la décompositions et de la multiplier par le carré du produits des autres composantes.
Exemple : 6 = 2*3 et 3²+4²=5²
donc 6² = 4*(5² -4²) = 10² - 8²

J'ignore si c'est vrai pour les nombres premiers