Quelle est la position finale de l'interrupteur?

Question

A l'instant t=0, l'interrupteur est sur "Arrêt".
Je le passe sur la position "Marche" pendant 1 seconde.
Puis je le passe sur la position "arrêt" pendant 1/2 seconde
Puis sur "Marche" pendant 1/4 de seconde.
Puis sur "Arrêt" pendant 1/8 de seconde.
Et ainsi de suite: j'attends toujours la moitié de la période précédente pour le changer de position.
Supposons que j'applique cette procédure jusqu'à l'instant t=2, et qu'à cet instant, je cesse de l'appliquer en laissant l'interrupteur dans la position où il se trouve.
Quelle est cette position finale?

(Comme on est dans la rubrique maths, on se permettra de poser l'hypothèse que la main qui manipule l'interrupteur n'est pas limitée dans sa vitesse de déplacement)

@Eric:
Comment ça, il est impossible d'arriver à t=2 ?
Il suffit d'attendre 2 secondes !

@Archange:
Mais bien sûr que si qu'on atteindra t=2.
t, c'est le temps qui passe ! Rien ni personne ne peut empêcher 2 secondes de s'écouler !

@tous:
2 secondes, ça passe même assez vite ;-)

@Angélique: M'enfin, on n'a pas à s'embarrasser d'histoires de suites ou de limites !
Il suffit de respecter la procédure pendant 2 secondes montre en main, et puis on laisse l'interrupteur comme il se trouve et on va se promener dehors.
Alors... Marche, ou Arrêt?

@ Raymond:
Mais non, ma procédure ne "s'arrête d'indiquer quoique ce soit avant ces 2s"
Au contraire, il n'y a aucun moment avant 2s où elle ne marche pas. Tout ce que je demande, c'est donc de l'appliquer avant t=2, et d'arrêter de manipuler l'interrupteur à partir de t=2. Le mode opératoire est donc bien défini à tout moment, non? Alors, "marche" ou "arrêt"?

Answer 1

Du point de vue strictement mathématiques, il n'y a pas de réponse à ta question tu vas basculer INDEFINIMENT de arrêt à marche dans un geste final quasi-synchrone où ta main sera à marche et arrêt en même temps. Répondre à ta question revient à déterminer le nombre de basculement effectués jusqu'à la fin de ta procédure (soit juste avant 2s puisque ta procédure n'est pas définie à t=2s).

Bref cela revient à donner numériquement le plus grand entier naturel existant... ce qui n'existe pas puisque tu pourras me donner celui que tu veux, n'importe qui pourra t'en trouver un autre plus grand. De la même manière si tu dis que l'état du dernier interrupteur est ARRET, on pourra toujours trouver mathématiquement assez de temps pour pouvoir basculer à MARCHE et réciproquement, avant d'atteindre 2s.


Maintenant si on revient dans le monde un tant soit peu physique, tu vas basculer tellement d'arrêt à marche juste avant 2s que tu vas "tomber" dans des propriétés quantiques. En bref, comme le chat de Schrödinger, ton interrupteur sera finalement dans l'état "marche" ET "arrêt". Ce n'est qu'en le regardant à t=2s que toi tu pourras nous dire dans quel état il est. Mais avant de l'observer, personne ne pourra rien dire. L'état sera indéterminé. Bien foutu la physique hein ? Quelque part ça rejoint la réponse purement mathématique. On peut en fournir d'autres comme plus bas avec les paradoxes liées à la vitesse de déplacement de la main, sûrement toutes aussi fausses conceptuellement, mais bon ça illustre le fait qu'il n'y a vraiment pas de réponse.

Donc finalement, d'un point de vue mathématiques, c'est sans réponses puisque en suivant ta procédure on ne peut pas déterminer le DERNIER basculement juste avant 2s (comme il n'y a pas de DERNIER entier naturel ou plus exactement qu'on ne sait pas dire si le dernier entier naturel est pair ou impair). Et de toute façon, d'un point de vue physique, l'état de l'interrupteur est indéterminé tant que tu ne l'as pas observé.


Maintenant on peut s'amuser quand même et donner une réponse quantifiée en cherchant la dernière position avant t=2s, en considérant le temps comme un écoulement de grains de temps de la taille d'instants de Planck et faire des calculs purement mathématiques. Comme on ne peut pas utiliser le fait que la main a une vitesse maximale et qu'elle peut être infinie (donc au-delà de la lumière si nécessaire), je peux t'indiquer quelle sera la position de l'interrupteur à l'instant précédent avant 2s, soit 2s - le temps de Planck (10^-44s). Si on sait dire la position de l'interrupteur à cet instant là, il n'y aura pu y avoir qu'un seul basculement maximum dans l'instant de Planck restant. Evidemment tu es doté d'une main aux propriétés quantiques pour pouvoir faire quelque chose en 10^-44 s (quel homme !).

à t=0s, l'interrupteur est à l'arrêt, ce n'est qu'après qu'il passe à marche
à t=1s, l'interrupteur est encore à marche, ce n'est qu'après qu'il passe à arrêt
à t=1,5s = 2 - (1/2), l'interrupteur est encore à arrêt, ce n'est qu'après qu'il passe à marche
à t=1,75s = 2 - (1/2²), l'interrupteur est encore à marche, ce n'est qu'après qu'il passe à arrêt...
et ainsi de suite
à t=2 - (1/2^k), l'interrupteur est encore à
marche si k est pair
arrêt si k est impair,
ce n'est qu'après qu'il passe à
arrêt si k est pair
marche si k est impair

Pour quel k (1/2^k) = 10^-44 ?
=>2^k = 10^44
=> k.log(2) = log (10^44) = 44
=> k = 44/log(2)
=> k = 44/0,30102999566398119521373889472449
=> k = 146,16483617504394330629405489753

Hors pour k=146, l'interrupteur est encore à marche, ce n'est qu'après qu'il passe à arrêt.
Nous avons encore un tout petit peu plus qu'un instant de Planck avant d'arriver aux 2 s. Ce temps de Planck est mis à contribution pour basculer l'interrupteur à arrêt.

Nous sommes à cet instant à
t = 2 - 2^-146 + 10^-44
L'instant de Planck d'après nous serons à
t + 10^-44 qui sera supérieur à 2s

Donc à t = 2s, nous serons restés avec un interrupteur à l'ARRET (pas le temps de basculer à autre chose).


Maintenant tu indiques à juste titre que ta procédure marche à TOUT moment avant 2s. Oui mais combien il y a-t-il de "moments" (ou "d'instants") avant 2s. Un nombre fini ou infini ?
S'il y en a un nombre infini (qui est l'hypothèse à privilégier, surtout qu'on se place dans la rubrique mathématiques), il n'y a donc pas de DERNIER moment, donc pas de DERNIERE position de l'interrupteur. C'est tout simple.
Maintenant si tu considères qu'il y en a un nombre fini, ma réponse est donc celle relative aux grains de temps sous forme de temps de Planck, et donc ARRET.

Si tu n'arrives pas à comprendre le fait qu'il ne puisse pas y avoir de DERNIERE position d'interrupteur alors qu'il suffit d'attendre 2s (et c'est vrai que ça passe vite), tu n'as qu'à te demander "2s pour qui ?". J'ai l'impression en te lisant que c'est 2s pour toi. C'est pas tout à fait vrai, c'est 2s pour ta main (c'est elle qui fait les gestes) et toi tu l'observes de ta position fixe. Evidemment, on ne considère pas que c'est ton cerveau qui gouverne ta main car à ce moment-là on te rétorquera que le temps du signal nerveux fera que t'auras même pas 8 actions avant d'arriver à 2s en suivant ta procédure et que la dernière position marche/arrêt sera uniquement relative à ta dextérité qu'on ne connaît pas.

Qu'est-ce que ça change 2s pour ta main et pas pour toi ? Tout simplement ta main va très vite être confrontée à des vitesses non négligeables par rapport à celle de la lumière et on en vient alors au fameux paradoxe des jumeaux d'Einstein.
Le paradoxe ultra-connu dit que si un jumeau voyage à une vitesse proche de la lumière, il pourra effectuer un voyage d'une journée alors que sur Terre il se sera écoulé 1 an (les chiffres sont juste donnés pour illustrer, il suffit de connaître la vitesse de voyage en pourcentage de celle de la lumière). Bref, pour le jumeau qui voyage le temps sera court alors qu'une éternité (façon de parler) s'est écoulée pour l'autre qui l'observait alors qu'il n'avait que peu de vitesse (négligeable par rapport à celle de la lumière).
Pour ta main c'est pareil, voire pire puisque mathématiquement elle va dépasser la vitesse de la lumière. En termes de paradoxe c'est le bordel : elle remonte le temps pour arriver à faire ses gestes ? Mais même si on se borne à dire qu'elle ne fait qu'atteindre la vitesse de la lumière, les 2s qu'elle aura vécu se sont transformées pour toi en siècles.

Ainsi on peut presque (même s'il ne s'agit pas de la même chose en fait, mais ça permet de comprendre) à modéliser le fait qu'on puisse faire entrer des actions infinies en un temps fini, à cause des effets de la vitesse engendrée de ces actions sur le temps.

Maintenant, au lieu de ta main, tu peux agir sur l'interrupteur avec ton crâne et observer "en live" la dernière position. Mais comme tu accélères de plus en plus et dépasser la vitesse de la lumière, c'est mort. Tu n'arriveras jamais aux 2s (quoique que t'en dises sur le fait que 2s ça passe vite, c'est parfois pas si vrai que ça).

Si c'est pas de la m@sturb@tion intellectuel tout ça !

Answer 2

Ca ressemble aussi au mur impossible à atteindre

Tu fais face à un mur qui se trouve à 10 mètres de toi, tu avances à vitesse constante vers ce mur.
Décomposons ce mouvement en plusieurs étapes de sorte qu'à chaque étape tu a parcouru la moitié du chemin restant.
Tu parcours donc 5 mètres , puis 2,5 mètres, puis 1,25 mètres , puis 62,5 cm, puis 31,25 cm
A ce moment là tu as parcouru 9,84375
Bien sur les étapes n'ont pas la même durée de temps (la vitesse est constante et les distances sont de + en + petites)
Et il te reste à parcourir quelques centimètres, alors à quelle étape vas tu atteindre précisément le mur .

Tu a l'impression de ne plus l'atteindre ce satané mur, et pourtant tu marchais à vitesse constante dans sa direction, forcément tu t'y est cogné, tellement fort que t'en as eu une bosse ... la bosse des maths.
;;;;

Answer 3

Soit f(t)=-1 si à t,l'interrupteur est en position "Arrêt".
Et f(t)=1 s'il est en position "Marche".
A t=0,f(0)=-1
f(1)=1
f(1+1/2)=-1
f(1+1/2+1/4)=1

On considère la suite géométrique (un) de raison 1/2 et de premier terme u1=1.
On décrète u0=0.
Un=u0+...+un
Si n=0,U0=u0,f(U0)=-1
Si n=1,U1=u1=1,f(U1)=1
Si n=2,U2=1+1/2,f(U2)=-1
En général,f(Un)=(-1)^(n+1)
Peu de choses à en conclure vu qu'on ne sait rien sur la continuité de f,qui n'est d'ailleurs même pas définie sur un ensemble dense dans IR.

Bon,ça c'était la modélisation sérieuse,mais il n'aura échappé à personne que tu n'atteindras jamais t=2.
Effectivement l'instant t=2 arrivera,mais toi,tu seras toujours dans ce mouvement de va-et-vient de plus en plus rapide et tu n'en verras jamais la fin.Ca rejoint le fameux paradoxe de Zénon d'Elée,d'Achille et la tortue.

Je n'ai jamais nié le fait que t=2 arrivera,mais avant que ce moment n'arrive,le temps va te sembler de plus en plus long,même vachement long,jusqu'à devenir infini.Vois-toi en situation,obligé d'appuyer de plus en plus vite,sachant que jamais tu ne connaîtras le repos.Tu seras prisonnier du temps.Alors que pour n'importe qui t=2 arrivera normalement,pour toi,ce sera une situation d'emprisonnement temporel!Horrible!
Si tu ne me crois pas,dis-moi la réponse tout de suite:Marche ou Arrêt?
Assurément ça ne peut-être que l'un des deux,mais il n'y a aucune raison qui privilégie l'un sur l'autre!
En fait t=2 arrivera,certes,mais pas pour toi!Du moins pas pour ce pauvre interrupteur!

Par contre,pour tout n,Un<2 ((Un) étant la suite que j'ai définie précédemment).
Donc dans le cadre de cette modélisation,j'aurais tendance à répondre comme mon copain Raymond:f(2) n'est pas déterminé!

Je te renvoie à la fonction qui à x réel non nul associe sin(1/x).Etudie sa limite quand x tend vers 0 et amuse-toi bien!

Answer 4

On a une suite de temps dont le terme est Un= (1/2)^n
la somme de ces termes a pour limite 2 quand n tend vers l'infini.
Si il existait une position finale, cela signifierait qu'il existe N tel que Sigma Un = 2 donc Un+Un+1 > 2 ... impossible.
Je pense que la main explose en vol

Answer 5

Je suis d'accord avec Angélique. Le temps s'écoulera bien jusqu'à 2 mais cette procédure ne définit la position de l'interrupteur que pour des temps bien précis de la forme
t(n)=2(1-2^(-n)). (série géométrique de raison 1/2)*
Or il n'existe pas de n tel que t(n)=2. (t(n) est égale 2 + un nombre strictement négatif).

(rq la fréquence de changement de l'interrupteur est 2^n et tend donc vers l'infini.)

Answer 6

Bien sur que l'instant t=2 aura lieu, mais ta suite n'est pas définie pour t=2.

En toute rigueur il faudrait donner comme valeur à la position de ton interrupteur, la limite de ta suite.... qui n'en a pas (puisqu'elle oscille sans cesse entre 0 et 1)
Donc la position de l'interrupteur n'est pas défini à l'instant t=2 par ta procédure !

Cela n'a pas vraiment de rapport avec le paradoxe d'Achille et la tortue, mais c'est ta procédure qui n'est pas bien définie pour t=2.

Answer 7

à chaque fois qu'on touche l'interrupteur, on fait une séquence marche pendant un temps t suivit d'un séquence arrêt pendant un temps t/2 puis on recommence. A la fin d'une séquence, l'interrupteur est en position arrêt.
La question est, fait-on une sequence complète à la limite T=2 ? Dans ce cas, l'interrupteur est en position arrêt à la fin de cette séquence.
Comme la séquence devient infiniment petite, je serait tenté de dire que oui et donc que l'interrupteur est en position arrêt.

Answer 8

on peut poser deux hypothèses:
1/ l'espace minimum entre les deux contacts de l'interrupteur est égal à celui de deux atomes du métal dont ils sont faits
et que lorsque l'interrupteur est ouvert, cet espace est double
2/ la vitesse maximale de changement d'état est la vitesse de la lumière

partant de ces hypothèses, on doit pouvoir calculer à quelle fraction de seconde, on ne pourra plus diviser le temps restant par deux pour assurer un changement d'état

à partir de cette durée, on va trouver quelle est la puissance de deux immédiatement supérieure

ensuite, selon que cette puissance est paire ou impaire, on saura quel est l'état de l'interrupteur au bout des deux secondes

exemples
si le calcul du temps le plus court donnait 1/10 secondes
ça se situe entre 1/8 et 1/16
la puissance de 2 immédiatement supérieure c'est 1/2^3
donc c'est éteint (impair)
si le calcul donne 1/100 secondes, on est entre 1/64 et 1/128
1/64 = 1/2^6 donc allumé (pair)


dans le problème il manque donc une donnée qui est l'espace entre les contacts lorsque l'interrupteur est ouvert

Answer 9

bien sur que en pratique tu atteindra 2 seconde mais tu ne pourra pas couper et rallumer le courant une nombre fini de fois car tu remarque que plus le temps passe entre 0 et 2 seconde plus tu va devoir "t'exiter" sur ton interrupteur la fréquence à laquelle tu va devoir alterner le courant change à vitesse géometrique:

Tu es d'accord que l'on peut calculer le temps au bout duquel on coupe ou on remet le courant, à chaque fois...
j'allume a 1s
je coupe a 1+1/2
j'allume a 1+1/2+1/4
je coupe a 1+1/2+1/4+1/8
tu vois bien que si tu calcule le temps entre deux changement de position il est d'abord de 1/2 puis de 1/4 puis 1/8
bref le temps qui s'ecoule entre 2 manipulation de l'interrupteur diminue de plus en plus

On pourrait placer sur une regle graduée de 0 a 2 les differents points de manipulation. Tu rajoute un point a chaque manipulation et tu te déplace ainsi vers la droite, vers le 2
Mais tu voit bien que tu aura beau placer toujours plus de points il se situerons toujours avant 2 (2 est la fin de ton experience)
Donc si tu veux effectivement faire durer ton experience jusq'a 2 seconde, tu t'appercoit que tu devra manipuler ton interrupteur un nombre infini de fois (et la je ne dit pas juste "un grand nombre" mais bien mathématiquement l'infini, l'experience n'est donc pas réalisable en pratique, car il faudrait pouvoir bouger ses doigts sur l'interrupteur à une vitesse infini, et la on aurra toujours pas atteint les 2 secondes...

On peut effectivement démontrer ce résultat de facon rigoureuse par des formules (et pas par "un dessin sur une regle" comme je vien de le fair) cette démonstration faire intervenir la notion de "limite de la somme des termes d'une suite géometrique".

Answer 10

en position arret bien sur