2ème Problème de Probabilités Complexe -10 points pour le plus RAPIDE et RIGOUREUX-?

Question

Dans une petite ville, la police recherche un ivrogne. Il y a quatre chances sur cinq qu’il se trouve dans un des huit bars de la ville. Deux agents de police visitent sept des huit bars sans le trouver.

Quelle est la probabilité qu’ils le trouvent dans le huitième bar ? Justifiez.

Le problème doit être résolu en passant par les probabilités conditionnelles.

Merci.

Answer 1

Notons B l'évènement "l'ivrogne est dans un bar"
Notons PT l'évènement "l'ivrogne n'est pas trouvé dans les 7 premiers bars"

On cherche Prob(B / PT)
On a Prob(B / PT)= Prob(B n PT)/ Prob(PT)
Or Prob(B n PT) =Prob(B)*Prob(PT / B)
Prob(B n PT)=(4/5)*(1/8)=1/10
Prob(PT)= Prob(PT n B) +Prob (PT n nonB)
Prob(PT)= 1/10+1/5=3/10

Au final: Prob(B / PT)=(1/10)/(3/10)=1/3

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Autre façon de raisonner

Imaginons qu'il y ait 10 endroits où peut se trouver l'ivrogne:
8 bars et 2 ponts avec équiprobabilité. Cela correspond bien à l'hypothèse 4/5 de chance d'être dans un bar
Les policiers ont essayé 7 bars. Il reste 3 endroits équiprobables et 1 seul bar: on retrouve 1/3 !

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Pour ceux qui trouvent 4/5
Vous raisonnez en oubliant que la présence de l'ivrogne dans les bars possède une probabilité de 4/5 a priori, avant d'avoir une quelconque information. A la limite si les policiers visitent les 8 bars sans succès, vous continueriez a affirmer qu'il y a toujours 4/5 de chance que l'ivrogne s'y trouve. Vous semblez ne pas avoir saisi la notion de probabilité conditionnelle.
Il faut bien sûr supposer qu'il y a équiprobabilité, sinon le problème est insoluble...

Answer 2

Un cas de figure donnée est caractérisé par deux paramètres: le choix du lieu pour l'ivrogne et le choix du bar qui n'est pas visité par les policiers.
A: ensemble des cas où l'ivrogne à choisi un bar P(A)=4/5
A' le complémentaire de A: P(A')=1/5
B: l'ensemble des cas ou la police ne trouve pas l'ivrogne dans les sept bars. On remarque que A' est inclu dans B!
P(B)=P(A inter B)+P(A' inter B) (B est la réunion de ces deux ensembles disjoint) A' inter B=A' donc P(A' inter B)=P(A')=1/5

(A inter B) représente les cas où l'ivrogne choisit l'un des bar Et la police trouve pas dans un bar. P(A inter B)=1/8*4/5=1/10
Donc P(B)=1/10+1/5=3/10

P(A/B)=P(A inter B)/P(B)=1/3

Answer 3

4 chance sur 5 puisqu'il n'y a plus qu'un bar

Answer 4

ce la depend de leur chance c'est simple . Bon je peux avoir les dix points ? STP STP

Answer 5

4/5 (il n'est pas nécessaire pour ce problème de passer par les probabilités conditionnelles) : Au départ, la Probabililité qu'il ne soit pas dans un des bars est 1/5, et garde cette valeur (sauf si tous les bars ont été visités). L'ensemble des huit bars a une probabilité de 4/5. Cet ensemble est maintenant réduit à un seul bar, avec toujours la probabilité 4/5. Il est intéressant de comparer - et de voir la différence - ce problème à celui du "paradoxe des trois portes".

Answer 6

4/5 qu'il soit dans un bar et 1/8 dans celui où on se trouve
soit 4/40 qu'on tombe dessus en visitant le premier bar
8/40 dans le deuxième bar
12/40 dans le 3ieme,
etc...
28/40 dans le 7ieme
32/40 dans le 8ieme et dernier
soit 4 chances sur 5

(j'ai bon?)