wie beweis man das die abgeschlossene hulle von {(x,sin1/x) x aus ]0,endlich[ zusammenhangend?

Question

aber nicht wegzusammenhangende?????????

Answer 1

@elpresley54

Es handelt sich wie - du vielleicht bemerkt haben könntest - um die Sparte "Mathematik"!! Und, dass nicht jeder in diesem Fach immer kapiert um was es geht, das möchte ich niemandem ankreiden - aber dann kann man eine solche Frage auch einfach ignorieren, wenn man sie nicht versteht!! Die Frage ist wohl nicht an dich gestellt! (also einfach - sorry das muss sein - die Klappe halten!)
Ich studiere Mathe und weiß zufällig, dass dies eine sinnvolle und außerdem hochinteressante Frage aus dem Gebiet der Analysis 2 bzw der Mengen-Topologie ist!!

Also nun zur frage:
Ich habe einmal eine ähnliche Aufgabe gehabt, aber da ging es um die Menge {(x,sin(1/x))} u {0} vermutlich ist das mit abgeschlossen gemeint.

Um nun zu zeigen, dass die Menge nicht wegzusammenhängend ist, musst du zeigen dass es keinen weg gibt, der sagen wir von (2, sin(1/2)) nach (0,0) verläuft und innerhalb der Menge liegt. Dem ist so. Den exakten beweis hab ich leider grad nicht parat. ich hoffe du kommst noch drauf.

hier noch ein kleiner ausschnitt aus wikipedia:
Ein topologischer Raum X ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten x, y aus X einen Weg p von x nach y gibt, d.h. eine stetige Abbildung p : [0,1] \to X mit p(0) = x und p(1) = y.

Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von

(0, oo) --> R, x -> sin (1/x)

mit der y-Achse. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen liegt, kann man die y-Achse nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen zu einem Punkt auf der y-Achse, also ist sie nicht wegzusammenhängend.

## Mein Nachredner bringts auf den Punkt.
--

Answer 2

Die Menge (x,sin(1/x)) ist zusammenhaengend (es ist das Bild von einer zusammenhaengenden Menge (hier: (0,unendlich)) unter einer stetigen Funktion (sin (1/x)))
Aber die abgeschlossene Huelle einer zusammenhaengenden Menge ist selbst eine zusammenhaengende Menge. Also ist deine Menge zusammenhaengend.

Sie ist aber nicht wegzusammenhaengend, denn die Punkte

(0,y) fuer -1 <= y <= 1

sind in der abgeschlossenen Huelle. Eine Kurve die einen solchen Punkt und der Punkt (1,sin1) verbindet muss folgende Menge enthalten:

(x,sin1/x) fuer 0 < x <= 1

das ist aber nicht moeglich.

Answer 3

Naja, ganz bringt CaRlos es nicht auf den Punkt, denn der Beweis von "nicht möglich" am Ende fehlt total. Offenbar steht dies im Widerspruch zur Stetigkeit des Weges, aber wie einfach das zu beweisen ist, hängt von dem Wissen um Stetigkeit ab. Ohne große Vorraussetzungen:

Sei H° die Menge {(x,sin1/x) x ∈ ]0,∞[ } und H die abgeschlossene Hülle von H°. Angenommen, es gäbe einen Weg p(a) von (0,y0) nach (1,sin(1)) in H. Da p(0) in {(0,y)|y∈[-1,1]} und p(1) in H° gibt es ein minimales a0 mit p(a0) in {(0,y)|y∈[-1,1]}, und p(a) ∈ H° für alle a>a0. An diesem Punkt kann aber p nicht stetig sein, denn in jeder Umgebung von a0 liegt ein Punkt a1 mit
p(a1)=(x1,sin(1/x1)).
Es gibt N ganzzahlig mit 2π N>1/x1 (Archimedes), und so muss es auf Grund der Stetigkeit von p einen Punkt a2 geben, a0 p(a2)=(1/(2π (N+1/2)),sin(2π (N+1/2)))
=(x2,1)
und einen Punkt a3 mit a0 p(a3)=(1/(2π (N+3/2)),sin(2π (N+3/2)))
=(x3,-1)

Zu der Umgebung V um p(a0) mit Radius 1/2 gibt es also keine Umgebung U um a0 sodass p(a0)∈V für alle a0∈U gilt, im Widerspruch zur Stetigkeit von p.

Answer 4

Ich senke mein Haupt in Demut ob meiner Unwissenheit.