¿Qué representa la derivada de una función y como se lleva a la práctica?, ¿Para que sirve?

Question

Si me pueden decir como se deduce el algoritmo para resolverla lo agradeceré mucho más. No sólo me interesa resolverlas, eso es secundario, quiero entenderlas a profundidad. Gracias x responder ^^.

Answer 1

Una explicación un poco simple sería que la derivado de la función en un punto expresa cómo se comporta la función en el entorno de ese punto.
Empecemos con el concepto de función: una función (vamos a quedarnos con las funciones reales de variable real) asiga determinados valores a unas variables mediante una aplicación. La derivada de la función en un punto indica la variación de la función en ese punto y la función derivada te indica el valor de la derivada para cada punto (la función derivada es lo que te piden cuando te dicen "calcula la derivada de tal función").
Vamos a tomar como ejemplo el recorrido de un móvil (vehículo o lo que sea) la variable va a ser el tiempo y la función el valor del espacio recorrido por el móvil en ese tiempo.
Si el móvil se desplaza con velocidad constante su representación espacio-tiempo es una recta (si en 10 seg recorre 100 metros en 20 seg 200 metros).
La derivada de la función espacio tiempo en cada punto indicaría como varia la posicion, esta variación de posición se conoce como velocidad.Si la velocidad aumenta, el valor de la derivada también aumenta. Si la derivada de la función espacio tiempo no es constante eso quiere decir que la velocidad ya no es constante y la gráfica espacio tiempo ya no sería una recta, en este caso el valor de la derivada en un punto corresponde con la velocidad instantánea en ese punto.
Esto es solo un ejemplo cualquier función que represente un proceso, por ejemplo el rendimiento de un motor en función de su aporte de combustible, puede ser analizada por su derivada que te indica si el rendimiento aumenta, disminuye o no varía.
En Geometría se utiliza para analizar "la forma de las cosas", si la curvatura aumenta o disminuye, ...
En una carretera, por ejemplo, imagínala como una representación gráfica de una función. Su derivada indicaría la pendiente de la carretera, y en fín muchas cosas mas. Pero siempre ten en cuenta que la derivada indica variación de lo que representa la función.
El algoritmo para calcular la derivada se obtiene a partir del cálculo de límites.

Answer 2

La derivada de una función es un límite.Supón que tienes una función f(x) que toma en el punto x=a el valor f(a). Si tienes en cuenta valores de x que se aproximan al valor a, sus valores funcionales se aproximarán a f(a). A medida que se hacen más cortas estas distancias, la curva " se endereza", o sea, la rapidéz de crecimiento de la curva se aproxima mucho a una función lineal, de hecho cuando la distancia x-a tiende a cero, el error que cometes al hacer esta aproximación se puede despreciar. La rapidez con la que crece (o decrece la curva), aproximada a una ecuación lineal, es lim f´(a)= [f(x)-f(a)]/ (x-a) cuando x --> a.

Gráficamente, si consideras la recta que une los puntos (x,f(x)) y (a,f(a)), a medida que x "tiende a a"(se aproxima a a sin coincidir), la recta se aproximará a la tangente a la curva en el punto a.

El concepto de derivada requiere del conocimiento de límites para demostrar esto que te estoy diciendo. El entendimiento se da con tiempo, a medida que aplicas el concepto y lo amplías. No desesperes. Para tener claras las bases, debes conocer el tema funciones, definición, representación gráfica, continuidad,luego conocer y comprender el tema límites y por último entrar en el concepto de derivada.

Como muchas propiedades del analisis matemático, el cálculo de la derivada se aleja en la práctica de la definición, y en la práctica se remite a un conjunto de reglas que uno aplica con cierta habilidad que adquiere con la práctica.
En teoría se puede derivar sin conocer la definición, pero es menester que te vayas familiarizando con los conceptos, que te serán muy utiles en tus futuros estudios.

Te paso un link para que empieces si ya conoces de funciones y limites
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

Si no,
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

Tambien es una buena idea leer un libro del tema.

Suerte en tu emprendimiento.
Saludos.

Answer 3

La derivada no es sino un modo distinto de aplicar las formulas de física.

Lo que pasa es que a uno le enseñan como se espeja , pero no como se aplica

Answer 4

La verdad es que necesitas un curso de Calculo y despues uno de Análisis Matemático.

Y no hay ninguna seguridad de que lo aprendas a profundidad.