deux échelles dans un ruelle?

Question

soit une ruelle au sol horizontal bordée de deux murs verticaux
j'ai deux échelles, d'épaisseur négligeable (pour le calcul)
l'un des échelles fait 6 mètres de long, elle est plantée dans le coin en bas à droite et s'appuie sur le mur de gauche
l'autre échelle fait 4 mètres, elle est plantée dans l'autre sens
(le tout forme 2 triangles rectangles qui se croisent et ont une base commune)

sachant que les échelles se croisent à 1 mètre du sol, quelle est la largeur de la ruelle?

s'il n'y a pas de solution, ça devrait pouvoir se démontrer

ça fait un bon moment que je bûche dessus, j'ai le résultat (par itération à la calculette) mais je trouve pas d'équation

c'est bizarre parce qu'on a toutes les données et qu'il n'y a qu'une seule inconnue

peut-être qu'un as de la trigo pourrait en venir à bout (si on peut construire la figure à la règle et au compas)

soit largeur = L
h6=racine(6*6-L*L)
h4=racine(4*4-L*L)

après quelques opérations, j'arrive à
1=(h4*h6)/(h4+h6)

pour l'instant, je cale

Answer 1

Les réponses fournies jusqu'ici sont plus que valables et effectivement c'est le calcul numérique qui permet de calculer le plus simplement le résultat de ce problème.
Pour un résultat exact, en fait il faut résoudre une équation du 4ème degré. Pour cela il suffit de déterminer cette équation et de donner cette équation à l'URL suivante pour fournir la solution finale assez précise :
http://serge.mehl.free.fr/anx/equ4_ferrari.html
Mais on peut tout de même faire le travail de résolution de cette équation pour avoir la solution EXACTE (mais totalement illisible d'autant plus avec YahooQR qui met des tas de ... lorsqu'il considère que c'est trop long. N'hésitez pas à passer la souris dès qu'il y a '...' pour voir le contenu total dans la petite boîte d'affichage). Pour voir l'étendue des dégâts, allez faire un tour en bas du message pour voir la tête de la solution. EDIFIANT !

C'est assez fort d'en arriver à une telle solution alors que les 3 chiffres de base du problème sont 1, 4 et 6 !

Pour arriver à l'équation du 4ème degré, reprenons un peu les différentes données à notre disposition.

Le problème posé est représenté graphiquement par 2 triangles rectangles, ayant la même base commune AB (de longueur L à déterminer)
La hauteur du triangle rectangle dont l'hypothénuse est 6 mètres (il s'agit de l'échelle de 6 mètres) est notée a
La hauteur du triangle rectangle dont l'hypothénuse est 4 mètres (il s'agit de l'échelle de 4 mètres) est notée b
Ces 2 hauteurs sont parallèles et la première part verticalement de A, l'autre partant verticalement de B
Les 2 hypothénuses de ces triangles (les 2 échelles) se croisent en un point P situé à 1m du sol, donc de la base AB.
La projection de P sur la base AB est à une distance x de A.

Avec Pythagore sur chaun des triangles on a donc :
(1) L² + a² = 6²
(2) L² + b² = 4²

On peut également utiliser Thalès pour comparer les hauteurs b et a, vis-à-vis de la hauteur du croisement à 1m
(3) a/1 = L/x
(4) b/1 = L/(L-x)

Partant de (4), définissons b par rapport à a (a et b sont différent de 0 et de 1 d'ailleurs)
1/b = (L-x)/L = 1-(x/L)
Or x/L = 1/a, donc 1/b = 1-(1/a) = (a-1)/a
D'où on peut définir l'équation suivante :
(5) b = a/(a-1)
De la même façon, peut définir a par rapport à b. On aura :
(6) a = b/(b-1)

Si on retranche (1) de (2) on obtient :
a² - b² = 36- 16 = 20
En utilisant (6), on a alors :
a² - (a/(a-1))² = 20
=> a² - a²/(a-1)² = 20
=> a²(a-1)² - a² = 20(a-1)²
=> a²(a-1)² - a² - 20(a-1)² = 0
=> a²(a²-2a+1) - a² - 20(a²-2a+1) = 0
=> a^4 - 2a^3 + a² - a² - 20a² + 40a - 20 = 0
D'où on
(7) a^4 - 2a^3 - 20a² + 40a - 20 = 0
Voilà l'équation à résoudre pour trouver a à partir de laquelle on pourra trouver L !

Déjà ici, on peut fournir l'équation à l'URL proposée et on a le résultat assez précis.


Cependant allons-y en utilisant la résolution d'une équation de 4ème degré selon Ferrari :
Pour info, revoici le lien intéressant : http://serge.mehl.free.fr/anx/equ4_ferrari.html qui fournit toutes les phases intermédiaires.

Posons a = A + (1/2)
(7) devient alors (il faut faire des résolutions ou simplement reprendre le travail de Ferrari)
(8) A^4 - (43/2)A² + 19A - (83/16) = 0

Introduisons maintenant une variable u auxiliaire. Rien ne nous interdit d'écrire :
(A² + u/2)² = A^4 + uA² + u²/4
Suivant cette idée (de retomber sur (A² + u/2)²), on peut repartir de (8) en écrivant
A^4 + (u-u-(43/2))A² + 19A + ((u²/4)-(u²/4)-(83/16)) = 0
=> A^4 + uA² + u²/4 - ((43/2)+u)A² + 19A - ((u²/4)+(83/16)) = 0
On obtient :
(9) (A² + u/2)² = (u + 43/2)A² - 19A + ((u²/4)+(83/16))

L'équation résolvante de u sera donc (en reprenant Ferrari, ne réinventons pas la poudre)
(10) u^3 + (43/2)u² + (83/4)u + (681/8) = 0
Pour résoudre cela, il faut se ramener à la forme
U^3 + pU + q que l'on obtient en posant u = U - 43/6
On aura donc, en partant de (10)
(U - 43/6)^3 + (43/2)(U - 43/6)² + (83/4)(U - 43/6) + (681/8) = 0
=> U^3 - (43/2)U² + (43²/12)U - (43/6)^3 + (43/2)U² - (43/2)(43/3)U + (43/2)(43/6)² + (83/4)U - (83/4)(43/6) + (681/8) = 0
=> U^3 + ((43²/12) - (43/2)(43/3) + (83/4))U - (43/6)^3 + (43/2)(43/6)² - (83/4)(43/6) + (681/8) = 0
=> U^3 + ((83/4)-(43²/12))U - (43/6)^3 + (43/2)(43/6)² - (83/4)(43/6) + (681/8) = 0
D'où on aura
(11) U^3 - (400/3)U + (18160/27) = 0

En utilisant la formule de Cardan
(cf. http://serge.mehl.free.fr/anx/equ_deg3.html)
pour résoudre cette équation, on tombe sur un discriminant Delta de :
Delta = 683200/27

On aura alors U = ((-9080/27)+sqrt(Delta))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(Delta))^1/3
Donc U = ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3
(à titre d'infos, U sera égal à -13,529467605508170309412919377979)

On n'a alors plus qu'à "dépiler" !
u = U - 43/6
D'où
u = ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 - 43/6
(à titre d'infos, u sera égal à -20,696134272174836976079586044637)

Nous avions (9) :
(A² + u/2)² = (u + 43/2)A² - 19A + ((u²/4)+(83/16))
(A² + u/2)² = (u + 43/2)(A - z)²
avec z = 19 / 2(u + 43/2)
D'où z = 19 / 2((37/6 + ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3) + 43/2)
(à titre d'infos, u + 43/2 sera égal à 0,80386572782516302392041395537)
(à titre d'infos, z sera égal à 11,817894047681312343403623627233)

On peut donc essayer de résoudre (A² + u/2)² = (u + 43/2)(A - z)²
avec l'équation (A² + u/2) = sqrt(u + 43/2) * (A - z)
=> A² - sqrt(u + 43/2)*A + u/2 + sqrt(u + 43/2)*z = 0
Le discriminant Delta sera (u + 43/2) - 2u - 4*(sqrt(u + 43/2)*z)
ce qui donne une valeur négative (Delta est égal à -43,186879958145774757075665752749)

On peut donc essayer de résoudre (A² + u/2)² = (u + 43/2)(A - z)²
avec l'équation (A² + u/2) = -sqrt(u + 43/2) * (A - z)
=> A² + sqrt(u + 43/2)*A + u/2 - sqrt(u + 43/2)*z = 0
Le discriminant Delta sera (u + 43/2) - 2u + 4*(sqrt(u + 43/2)*z)
D'où Delta = 43/2 - u + 4*(sqrt(u + 43/2)*z)
=> Delta = 43/2 - u + 4*(sqrt(u + 43/2)*(19 / 2(u + 43/2)))
=> Delta = 43/2 - u + 2*(19*sqrt(u + 43/2) / (u + 43/2))
=> Delta = 43/2 - u + 38/(sqrt(u + 43/2))
=> Delta = 43/2 - ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 - 43/6 + 38/(sqrt(u + 43/2))
=> Delta = 43/3 - ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 38/(sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3))
(à titre d'infos, Delta sera égal à 84,579148502495448709234837842019)

La seule solution positive A sera donc :
A = (sqrt(Delta) - sqrt(u + 43/2)) / 2
=> A = (sqrt(43/3 - ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 38/(sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3))) - sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3)) / 2
(à titre d'infos, A sera égal à 4,1500533322569508632022517740305)

Comme on avait posé a = A + (1/2)
on a donc a = 1/2 + ((sqrt(43/3 - ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 38/(sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3))) - sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3)) / 2)
(à titre d'infos, a sera égal à 4,6500533322569508632022517740305)

Ce chiffre est la hauteur de l'échelle de 6 mètres sur le mur de gauche, ce qui correspond bien à une représentation graphique du problème et surtout à la contrainte que cette hauteur devait se situer entre 1m (point du croisement des 2 échelles) et 6 mètres (hauteur maximum de l'échelle)

En repartant de (1) :
L² + a² = 6²
=> L² = 36 - a²
=> L = sqrt(36 - a²)
=> L = sqrt(36 - (1/2 + ((sqrt(43/3 - ((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 38/(sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3))) - sqrt(((-9080/27)+sqrt(683200/27))^1/3 + ((-9080/27)-sqrt(683200/27))^1/3 + 43/3)) / 2))²)
(à titre d'infos, L sera égal à 3,7917019934543942664667750434458)

Answer 2

Pas mieux que nicolas mais la méthode numérique est intéressante

On a le système

x²-y²=20
(1/x)+(1/y)=1

On le met sous une forme itérative

x=racine(20+y²)
y=x/(x-1)

ce qui s'écrit u=f(u) en notant u=(x,y)

Le théorème du point fixe s'applique et la méthode itérative donne le résultat de Nicolas à partir de (0,0)

en 3 itérations on trouve x=4.65 et y=1.27

Remarque : Il est facile d'écrire la solution explicite avec les formules de FERRARI puisqu'on a affaire à une équation du 4 eme degré soluble par radicaux,

x²(x-1)²=20(x-1)²+x²

mais cela n'avance à rien et il est bien plus éfficace d'écrire l'itération.. d'ailleurs qui sait calculer racine 4eme de 2 à la main, sans faire une itération.. c'est bien la même chose .. non ?

Answer 3

Soit L la largeur de la ruelle, hy la hauteur le long du mur de l'echelle faisant y metres
D'apres le theoreme de pythagore, on a les relations suivantes:
6**2=L**2+h6**2
4**2=L**2+h4**2
En soustrayant ces 2 dernieres, on a:
20=h6**2-h4**2
x represente la position du croisement projetee sur le sol par rapport au coin a gauche ou est plantee l'echelle de 4 metres.
Le theoreme de Thales indique que:
x/L=(h6-1)/h6
x/L=1/h4
Combinees, ces 2 equations donnent:
h4=h6/(h6-1)
Avec cette derniere et la 3ieme, on obtient alors la relation suivante pour h6:
20=h6**2 - h6**2/(h6-1)**2
Quelques essais avec une calculatrice permettent de situer une valeur approximative pour h6: h6=4.65m et donc la largeur L=3.79m avec la premiere relation

Answer 4

J'ai pas mieux que mon voisin du dessus. J'ai essayé de simplifier mais je ne trouve rien de très exploitable. Le problème est interessant.

Answer 5

Il n'existe pas de solution mathématique à ce problème.
.

Answer 6

ça dépend, il y a combien de crottes de chiens dans la ruelle ??