Re artu e cavalieri?

Question

Re Artù gioca con N-1 cavalieri intorno alla tavola rotonda con un dado. Il gioco è questo: chi ha il dado lo tira.
Se esce 1 o 2 chi ha tirato il dado vince.
Se esce 3 o 4 il dado passa alla destra di chi lo ha tirato
Se esce 5 o 6 il dado passa alla sinistra di chi lo ha tirato.
Chiaramente, il primo a tirare il dado è il Re.
Domanda:
Che probabilità ha il Re di vincere con N-1 cavalieri?
E cosa succede se N tende all'infinito?

Nota:
Mi aspetto che molti baldi matematici rispondano e si facciano valere...chiaramente con la dimostrazione e tutti i passaggi!!
Dai, perché quelle facce, è solo un gioco con un dado!!! :-)))

Suggerimenti: attenti che la tavola è ROTONDA, il dado può anche fare il giro e tornare dall'altra parte.
Non mi aspetto soluzioni in giornata ovviamente, lascerò trascorrere tutto il tempo possibile prima di assegnare la risposta.
x tutti i perditempo: non aggiungete stupide risposte se non ce la fate!!

Sefora, sei proprio 'fuori'...
e se non esce 1 o 2 ? che succede? il gioco continua....
Il gioco finisce solo quando esce 1 o 2 il che non necessariamente accade subito...

Questa domanda la considero una sfida tra i matematici statunitensi e quelli italiani!

Notate che, se N-1=4 (quindi 5 in tutto) il re, con la sequenza
3355 55555 1
vince!
ossia basta che risulta che il numero sortite di (3,4) = numero sortite di (5,6) MODULO N, e alla fine occorre ovviamente che esca 1 o 2...

pat è sulla buona strada.
Per tutti, vorrei fare notare che la probabilità del Re di vincere è maggiore di 1/3 ed è ovviamente maggiore di quella degli altri.

Spock scusa se ti interrompo ma stai dicendo un sacco di eresie.
1)Se ci sono N giocatori la probabilità di vincere di ognuno di essi è un numero ben determinato, e la somma di questi N numeri è UNO.
2)Poiché ad ogni lancio può uscire 1 o 2 e porre fine al gioco, affinché prosegua il gioco deve uscire 3,4,5,o 6 con probabilità 2/3.
(2/3)^n tende a zero, per cui la probabilità di vincere al n-mo lancio tende a zero

3) Nessuno può calcolare dove si troverà il dado al N-mo lancio, però è perfettamente possibile calcolare la distribuzione di probabilità della posizione del dado al N-mo lancio ripartita tra le n posizioni (di re e cavalieri)
Stai dimostrando superficialità nell'affrontare il problema ed una certa ignoranza nel campo della statistica.

Se pensi di leggere frasi chissà dove e venire a fare qui bella figura caschi male, perché hai a che fare con qualcuno che a quanto pare ne sa molte più di te.
Lo dico in base alle sciocchezze che stai sciorinando.

Sappi che la probabilità che si formi un loop infinito è assolutamente zero, ed è facilissima da calcolare questo la dice tutta sulle tue capacità statistiche.
Quello che non sopporto è la sfrontatezza e spavalderia con cui chiunque si sente autorizzato a dire qualsiasi eresia.
Questo su certe domande 'ebeti' può anche starci, ma non su domande di altro calibro, per esperti, come questa.
Non è una domanda per tutti, se te ne sei accorto, ma solo per i pochi che possono affrontare questo problema.
O provarci seriamente.
Su yahoo in altre lingue c'è più rispetto e correttezza in tal senso e la spazzatura non affolla tutte le domande ma solo quelle di più basso livello.

Ti dico una eresia che hai detto, la prima a caso che vedo:
"le probabilità del Re di vincere dopo la prima chance (1 su tre) sono indeterminabili "
assolutamente falso.
Prova con Re + un cavaliere, è facilissimo trovare la probabilità, che è 3/5.
Prova con Re + due cavalieri, è abbastanza semplice anche questa!
Vuoi altro?

E poi non sono affatto un matematico, evidentemente non mi conosci..

"più realista di te" si scrive senza accento
e ti faccio osservare che stai violando le regole della community, la tua non è una risposta alla mia domanda, ma solo una serie di considerazioni senza senso.
Io chiedo di calcolare una probabilità. Se lo sai fare o ci vuoi provare è bene, altrimenti evita di rispondere.

Non ti voglio giudicare e non ho detto nulla che ti possa offendere, a meno che non ammetti di essere ignorante nel campo statistico, cosa abbastanza evidente. Come io lo sono in tanti altri campi.

Pat non capisco bene come hai ottenuto i termini della serie.
Dopo 2 passi le possibilità sono:
(consideriamo Left Right)
LR o RL
quindi 2 - Ok
Dopo 4 passi
LLRR LRLR LRRL RLLR RLRL RRLL
ossia sono 6 non 4- non mi trovo
Ossia dopo 2k passi le possibilità non sono 2k, bensi (2k su k)=
(2k!)/k!k!
= 2k*(2k-1)*...*(k+1) / k!
giusto?

ma quanto fa questa serie?

Answer 1

Allora:
Il re vince se:
-getta il primo dado ed esce subito 2 o 3.
-contando le sortite, e supponendo di aggiungere 1 ogni volta che il dado va a sinistra, e togliendo 1 ogni volta che va a destra, la somma totale di queste deve dare 0 in mod(N) (e naturalmente l'ultima cifra di queste sequenze deve essere per forza 1 o 2).

Un passo equivale a 1/3 di probabilità (naturalmente condizionata dall'evento precedente).

ECCOMI:
Ci ho pensato tutto il giorno!
allora, ragioniamo:
io partirei dal caso N-1 tendente a infinito perché non sono molto abituato a considerare l'aritmetica modulare in probabilità.
Se N-1 tende a infinito, ciò vuol dire che ipoteticamente non si potrà mai fare un giro intero per poi ritornare al re.
Perciò basta considerare tutti i "passi" a sinistra e a destra e vedere tutte le posibili combinazioni per cui ritorna a zero (cioè dal re).
Indico con i passi il numero totale di "cambiamento di dadi" a sinistra o o destra.
Iniziamo con il dire che inizialmente (0 passi) per 1/3 il re vince.

[SBAGLIATO! tra parentesi quadre
Per 1 passo (a sinistra o a destra) il re ha 0 di prob di vincere.
Per 2 passi il re ha la seguente prob: 2*(1/3 * 1/3 *1/3) = 2*(1/3)^3 di vincere.
Per 3 passi: 0 prob
Per 4 passi: 4*(1/3)^5
Per 5 passi: 0
Per 6 passi: 6*(1/3)^7
...
La probabilità totale allora diventa una serie:
P= somma (2*k* (1/3)^(2k+1), k=1, inf) + 1/3 = 3/32 + 1/3 = 41/96 = 0.427083333
]

Ahhhhhhhh....hai ragione cavolo sono combinazioni di 2k presi k volte, cioè (2k k)!!!
Allora adesso riprovo a farlo:
P =Somma( (2k k)*(1/3)^(2k+1), K=1, inf) + 1/3
Il risultato dovrebbe essere questo ma non riesco a calcolare la serie!!
Per la prima domanda, se il cervello mi funziona ancora, proverò ragionarci su domani...non ho fatto un granché stasera anche perché dovevo fare altre cose...


Gaeta' senti non riesco a fare la prima parte!
Spero che comunque avrai apprezzato quello che ho fatto, non sono un asso in probabilità...
Mi dispiace...
Ciao!

Answer 2

Cavolo Gaeta' stavolta ci metti davvero out. :D sei sempre un mito ma ora dovrei pensarci un bel po'. Per ora comincio con l'analizzare in maniera un po' più dettagliata il problema. Come hai fatto notare tu, la tavola è rotonda e quindi credo siano palesamente in errore quelli che vanno ad analizzare le probabilità considerando solo i cavalieri a destra e sinistra del re. Mi spiego. Ammettendo di avere sempre lanci contrari alla vittoria del re fino al cavaliere che siederà di fronte a lui si avrà una probabilità decrescente di vincita dato che ad ogni passo si aggiunge un ulteriore lancio necessario affinchè il dado passi nelle sue mani. Non so se son stato chiaro ma faccio un esempio mettiamo che per n/2 passi successivi il dado passi di mano a destra avremo che, dopo il primo cavaliere i lanci minimi affinché il re abbia una possibilità di vincita sono due, dado a sinistra e lancio del re, se il dado invece passa di nuovo a destra prima che il secondo cavaliere a destra effettui il lancio il minimo dei lanci che deve attendere il re per avere una probabilità 1/3 sono 3, al successivo saran 4 fino a n/2 cioè quando il dado arriva al cavaliere che siede di fronte a lui. A quel punto c'è una stessa probabilità che il re vinca o perda in termini dei soli lanci, dato che il dado che vada a destra o a sinistra non cambia la condizione del re che vedrà comunque il dado avvicinarsi a se mentre fino a quel punto la probabilità che il re vinca diminuisce di passo in passo. Ora analizzo un po' dal punto strettamente matematico ma non son abituato a questo tipo di calcoli e quindi correggimi quando sbaglio.
primo passo prob. vinc 1/3
secondo passo (si deve verificare contemporaneamente lancio a sinistra vincita)
3 passo ora le evenienze sono lancio a sinistra, lancio a sinistra, vincita)
in pratica ad ogni passo si dovrà verificare contemporaneamente n-1 uscite di 5 o 6 e uscita di 1 o 2 fino al passo n/2 a quel punto la probabilità che il re vinca con successive uscite di 2 o 3 è la stessa di quella di uscite con 5 o 6. Ora provo a fare i calcoli.

Answer 3

Eh,eh,eh,eh. Non e' farina del tuo sacco ma e' un ottima farina
Ho seguito la tua dimostrazione su Yahoo USA, Sei almeno dieci ordini di grandezza al di sopra delle mie capacità matematiche, Le soluzioni pero' sono affascinanti per quanto sono riuscito a capirne.

Mi sarebbe molto utile se parecipassi a tornei di Roulette Russa

Answer 4

Ho fatto un rapido ragionamentino, e sono arrivato a 1/3 + (N-1)/(3^N).

Sono sicuro del fatto che sia sbagliato, perché ci ho ragionato veramente poco, se però magari mi dici che sono sulla strada giusta, continuo a ragionarci.

Answer 5

Gaetano, ma a quest'ora di notte te ne esci con un problema di "random walk" di questo calibro?
Dì la verità, hai mangiato pesante stasera a cena, eh!
No guarda, io passo, magari ci provo nel fine settimana...
(carino, però)

Answer 6

premettendo che sono un fisico alle prime armi e so ben poco di queste cose....

naturlamente al primo tiro il Re ha 1/3 delle probabilitàa di vincere...

se nn dovesse vincere passerebbe il dado ad un giocatore vicino, con uguale probabilità. il giocatore vicino allora lancerebbe di nuovo il dado. il re avrebbe 1/3 delle possibilità che il dado torni di nuovo nelle sue mani. qualora questo avvenisse avrebbe un nuovo 1/3 di possibilità di vincere. se invece il dado si allontanasse, il 1° cavaliere avrebbe un 1/3 di possibilità di riavere il dato, poi il re 1/ di riceverlo e 1/3 di vincere.

direi quindi (e per la simmetria del tavolo) che il re x ora avrebbe possibilità di vincere pari alle somme per a=1--->N di (1/3)^a di vincere
ho scitto somme fino a N xkè essendo il tavolo tondo alla fine il re avrà di nuovo il dado e potrà tentare di nuovo....

il problema è ke xò ogni voltà ke il re riceve di nuovo il dado il ciclo ricomincia...ke probabilità ha il re di riceve indietro il dado??? la stessa di prima ma diminuita di 1 fattore...

quindi la probabilità totale potrebbe essere la somma per n=0--->N della somma a=n+1--->N di (1/3)^a

a questa xò si dovrebbe togliere la possiblità ke cavaliere vinca...

ke dovrebbe essere ad ogni allontanamento dal re diminuirà di un fattore...

quindi è
- somma n=1--->N di somme a=n+1--->N di (1/3)^a

a questo punto rimangono per il re solo

somme a=1--->N di (1/3)^a

che per N--->infinito ci da 1/(1-(1/3)) -1=1/2

è come se il re avesse lanciato testa o croce...nn faceva prima??

mi sa che nn c'ho capito una mazza...nn sono convinto x niente...xò c'ho provato, sono pure le 2 di notte!!!

Answer 7

Il Re è il primo a tirare i dadi e pertanto o vince subito, o passa. Ha 2 possibilità su 6 di vincere alla prima mossa (cioè 1 su 3, il 33%).

Mettiamo che non vinca e che debba passare alla sua sinistra: a questo punto ha 2 possibilità su 6 che il dado gli ritorni, 2 su 6 che vinca il cavaliere alla sua sinistra, e 2 su 6 che il dado si allontani passando al cavaliere ancora più a sinistra.

Se il dado gli torna, il Re ha ancora 2 possibilità su 6 di vincere alla terza mossa. Però in termini assoluti questa possibilità si è ridotta, perché aumenta il numero di tiri.

Perché il Re possa vincere alla terza mossa si deve avverare la seguente sequenza:
- prima mossa il Re fa 5 o 6
- seconda mossa il cavaliere fa 3 o 4
- terza mossa il Re fa 1 o 2

Sono 3 tiri, ognuno dei quali ha 1 possibilità su 3 di dare il risultato che porti il Re a vincere alla terza mossa.

A occhio, direi che il Re ha l'11% di probabilità di vincere alle terza mossa.

Sono sulla strada giusta? Se è così, possiamo dire che le possibilità del Re si riducono di un terzo ad ogni passaggio di dado?

Adesso mi sovviene: se per assurdo i giocatori sono due (il Re e un cavaliere) allora le probabilità raddoppiano perché il Re ha due possibilità di rilanciare i dadi alla terza mossa. In questo caso direi che il Re ha il 22% di possibilità di vincere alla terza mossa se gioca con un solo cavaliere, e se gioca con due cavalieri ha l'11% di probabilità di vincere alla terza mossa nel modo descritto prima (passaggio al cavaliere al suo fianco, il quale gli restituisce poi il dado).

Se sono sulla strada giusta, adesso ci sarebbe da ragionare aumentando di 1 il numero di cavalieri e vedere cosa succede... forse per induzione si potrebbe arrivare presto a dedurre la regola generale.

Answer 8

Cerco di fare un ragionamento grossolano: con 2 giocatori, re compreso, al primo tiro ci sono tre casi: in uno il re vince, negli altri due potrebbe perdere, quindi avrebbe 0,3 probabilità di vincere; se vuole ancora sperare di vincere gli servono altri due tiri, dove nel primo l'avversario ha 0,3 probabilità di ridare il dado al re, che a sua volta ha 0,3 probabilità di vincere: quindi se il dado è in mano avversaria il re ha 0,28 probabilità di vittoria. Se però gli avversari sono due, al primo tiro c'è sempre 0,3 probabilità che il re vinca, ma nei casi che perda e il dado passi a un avversario, con due tiri l'avversario può ridarlo al re come passarlo all'altro avversario, quindi fino a che il dado è in mano avversaria il re ha 0,2 probabilità di vincere. Spero di essere sulla buona strada...

Answer 9

ODDIO!!!! bhè se la probabilità di vincità riguarda solo il primo lancio, dato che artù è il primo a lanciare avrà una probabilità di vincità pari al 33,3%.
Ho ragionato così: probabilità= numero dei casi favorevoli/numero di casi possibili tutto moltiplicato per 100.
quindi artù vince se esce 1 o 2 quindi i casi favorevoli sono due, il dado ha 6 numeri, quindi i casi possibili sono sei, pertanto 2/6=0,333 che espresso in percentuale diventa 33,3%.

Credo che non sia da considerare il numero dei giocatori. se lui tira per primo e escono o 1 o 2 automatiocamente ha vinto

PROMOSSA O BOCCIATA????




2° TEMPO= immaginavo di essere fuori, però scusa tu parli di probabilità di vincità e se lui tira per primo e con il suo tiro lui vince e chiude la partita allora il mio discorso sulla probabilità doveva essere giusto no?!!! UFFF ok mi arrendo non sono un genio in matematica in bocca al lupo a tutti quelli che tenteranno di rispondere

Answer 10

Non mi sogno neppure !

Non sono un baldo matematico !
solo un misero ingegnere !
Sono costretto a dare forfait !
Ciao
.