la dérivabilité de f(x)= (x-1)/ln(x) en 1?

Question

f est définie sur R+ telque:
f(x) = (x-1)/ln(x) si x>0 et x différent de 1
f(0)=0 et f(1)=1

comment peut-on y arriver si on utilisait les intégrales genre somme de Darboux ou quelque chose du genre?

Answer 1

Calcule la dérivée de ta fonction et cherche sa limite lorsque x tend vers 1.
(Il faudra peut etre utiliser les developpements limités)
Si la dérviée admet une limite finie en 1 alors elle est dérivable en 1. Sinon ce n'est pas le cas.

Answer 2

Le but de l'exo est sans doute de montrer que la
limite de g(x)=(f(x)-1)/(x-1) existe quand x tend vers 1.

g(x)=(x-1-Ln(x))/(x-1)Ln(x)

en posant x=1+y

g(x)=(1-Ln(1+y)/y)/Ln(1+y)

on peut "intuiter" le résultat que la limite de g(x)=1/2
en appliquant un DL
puis démontrer rigoureusement que

quel que soit "epsilon" il existe "éta" tel que
abs(g(x)-1/2)

Answer 3

La dérivée de f(x) est f'(x) = (Ln(x) -1+1/x) / (Ln(x)*Ln(x)

On obtient cela par dérivée de (u/v)' = (u'v - uv')/v*v

Pour trouver la dérivée de f en 1, il faut passer par les développements limités.
On pose t = x - 1 et donc x = t + 1 et on se ramène
à l'étude de t au voisinage de 0 (car x ---> 1)
f'(t+1) = (Ln(t+1) - 1 + 1/t+1) ) Ln(t+1)*Ln(t+1)

Or le DL de Ln(t+1) = t- t*t/2 + t*t*t/4 + ....
DL de 1/(t+1) = 1 - t + t*t - t*t*t + ....

En remplaçant dans f(t+1) et en simplifiant on trouve finalement que f'(x) tend vers 1/2

Answer 4

Il te suffit de calculer lim [f(x)-f(1)]/[x-1] ,lorsque x tend vers 1.(i.e:limite du taux d'accroissement de f en 1)
Si la limite est finie,f est dérivable en 1.Sinon,elle ne l'est pas.
Si tu appliques cette méthode,tu trouveras la réponse.Par contre,tu auras sûrement besoin d'astuces calculatoires(équivalents,dév. limités).
Passer par cette méthode,plutôt que par la méthode de la limite de la dérivée,permet d'éviter des justifications sur la dérivabilité de la fonction...

A toi de jouer maintenant!

PS:la règle de l'Hospital est fun,mais ne connaissant pas le niveau de la personne,j'ai préféré revenir à la définition!

Answer 5

tu peux utiliser la règle de l'Hospital:
ici ton exemple vérifie les hypothèses, c'est-à-dire que ton numérateur et ton dénominateur tendent tous deux vers 0 quand x tend vers 1. SI tu appelle ton numérateur g(x) et ton dénominateur h(x) alors la limite en 1 sera : lim g'(x)/h'(x) quand x tends vers 1. La réponse est 1.
Pour démontrer cette règle de l'Hospital tu peux utiliser comme ça été dit les développements limités.

P.S. : ça serait bien de préciser en quelle classe tu es pour savoir quels outils on peut utiliser pour la démonstration.

@+

Answer 6

La dérivée de f est f'(x)=(Ln(x)-1)/Ln(x)^2.
Quand x tend vers 0,f(x) tend vers 0+.Donc f est continue à droite en 0.
En 1,on calcule g(x)=(f(x)-f(1))/(x-1)
f(x)-1=(x-1-lnx)/lnx
En appliquant la règle de l'Hospital,on trouve que (1-1/x)/(1/x)=x-1 tend vers 0 quand x tend vers 1.D'où la continuité de f en 1.
g(x)=(x-1-lnx)/(x-1)lnx
=1/lnx-1/(x-1)
f est dérivable en 1 si g admet une limite finie à gauche en 1 et une limite finie à droite en 1 et que ces deux limites sont égales.Dans ce cas,cette limite sera appelée f'(1).
On va devoir effectuer un développement limité.
Quand x tend vers 0,Ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+....+(-1)^(n+1)x^n/n+o(x^n).
Soit y=x-1.
g(x)=(y-ln(y+1))/yln(y+1)
=(y-y+y^2/2+o(y^2))/y(y+o(y))
=(y^2/2+o(y^2))/(y^2+o(y^2)
=1/2+o(y^2)
Donc f est dérivable en 1 et f'(1)=1/2.
Ciao et bonne continuation!!!

Answer 7

en general la dirive' de f/g=f'g-g'f/g² ok donc soit f1(x)=x-1est f2(x)=ln(x) cad f(x)=f1(x)/f2(x) donc f'=f1'f2-f1f2'/f2² soit f1(x)=x-1donc f1'(x)=1estf2'(x)=1/x avec xdiferent de0 d'ou f'(x)=1.ln(x)-x-1/xle tous/(ln(x))²=xln(x)-x-1letous/(ln(x))² donc c'est la de'rivabilite'de f(x)