Statistik Problem?

Question

Ich habe ein kleines Problem mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Man hat 2 Würfel... Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine 1 würfelt ist bei 11/36, das leutet mir auch (eigentlich) ein.

Das Problem: Wenn man jeden Würfel für sich betrachtet ist die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln 1/6
----> Beide Würfel 2*(1/6) = 1/3

Kann mir bitte Jemand meinen Denkfehler erklären.
Dankeschön

Answer 1

Definition des elementaren Wahrscheinlichkeitsbegriffes:

p(x) = h(x) / h

wobei p(x) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses x ist, h(x) die Häufigkeit (Anzahl der Ereignisse), mit der x eintritt, und h die Gesamtanzahl aller Ereignisse.
Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse werden wie folgt berechnet: Bei Ereignissen, die mit logischem UND verknüpft werden, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert. Bei logischem ODER wird addiert. Man muß dabei natürlich auf Überschneidungsfreiheit achten.

Dein Fall läßt sich auf mehreren Wegen lösen.

Erstens: Man betrachte beide Würfel zusammen. Da gibt es zunächst 36 verschiedene Ereignisse. Von diesen 36 enthalten genau 11 mindestens eine 1 (also: mindestens ein Würfel zeigt 1), also ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Würfel eine 1 zeigt, genau 11 / 36.

Jetzt Methode 2: Kombination von Ereignissen; das heißt, die Gesamtwahrscheinlichkeit läßt sich wie folgt berechnen:

p(mindestens ein Würfel zeigt 1)
= p((nur der 1. Würfel zeigt 1) ODER (nur der 2. Würfel zeigt 1 ) ODER (beide Würfel zeigen 1))

Das entspricht

p(mindestens ein Würfel zeigt 1)
= p(1. Würfel zeigt 1 UND 2. Würfel zeigt keine 1)
+ p(2. Würfel zeigt 1 UND 1. Würfel zeigt keine 1)
+ p(1. Würfel zeigt 1 UND 2. Würfel zeigt 1)

Die einzelnen Summanden lassen sich wie folgt bestimmen: Die Wahrscheinlichkeit für eine 1 bei einem Würfel ist (1 / 6), die für "keine 1" ist logischerweise (5 / 6). Deshalb ist der erste Summand

p(1. Würfel zeigt 1 UND 2. Würfel zeigt keine 1)
= p(1. Würfel zeigt 1) * p(2. Würfel zeigt keine 1)
= (1 / 6) * (5 / 6)
= 5 / 36

Aus Symmetriegründen hat der zweite Summand den gleichen Wert.

Der Dritte ist logischerweise

p(1. Würfel zeigt 1 UND 2. Würfel zeigt 1)
p(1. Würfel zeigt 1) * p(2. Würfel zeigt 1)
= (1 / 6) * (1 / 6)
= 1 / 36

Insgesamt also

p(mindestens ein Würfel zeigt 1)
= (5 / 36) + (5 / 36) + (1 / 36) = 11 / 36

Alles klar?

Verstöße: 25 (Anarchist in Ausbildung)

Answer 2

Sei
X="Anzahl der gewürfelten 1en"

Denke du meinst in deinem ersten Absatz die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 1 zu würfeln (nicht genau eine 1) das wäre dann:

P(X) = 1/6 + (1 - 1/6)*1/6 = 11/36

Deine Rechnung kann ich leider nur schwer nachvollziehen. Du kannst die Einzelwahrscheinlichkeiten nicht einfach mit der Anzahl der Versuche (in dem Fall der Anzahl der Würfel) multiplizieren... Man stelle sich nur ein Experiment mit 7 Würfeln vor, in diesem Fall würde die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 (also 100%) übersteigen und das ist logischerweise nicht möglich (7*1/6 = 7/6 > 1)

Bei deinen Betrachtungen ist sicher ein Baumdiagramm hilfreich...

Answer 3

Die Wahrscheinlichkeit mit 1 Würfel eine 1 zu würfeln ist 1 Wurf von 6 Würfen, also 1/6.

Wenn ich mit 1 Würfel zweimal werfe, dann ist die Wahrscheinlichkeit doppelt so hoch, also: 2 x 1/6 = 2/6 und das ist 1/3.

Ob ich jetzt mit 1 Würfel zweimal werfe oder mit 2 Würfeln nur 1 mal, das ist die gleiche Situation, also ist es hier auch 1/3!

Answer 4

die lösung liegt darin dass es 3 möglichkeiten gibt
1. würfel a: 1
würfel b: keine 1
2. würfel a: keine 1
würfel b: 1
3. würfel a: 1
würfel b: 1

denk mal drüber nach

Answer 5

Das fehlende 1/36 ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du mit BEIDEN Würfeln gleichzeitig je eine 1 würfelst, so einfach ist das.

Denn 11/36 + 1/36 = 12/36 = 1/3