Et si l'infini n'existait pas ?

Question

A partir de la première, mes classes de mathématiques furent remplies d'infinis: f tend vers plus l'inifni, moins l'infini etc...
Et l'on bâti des tas de démonstrations en mathématiques, à partir de la notion d'infini.

Oui mais voilà; l'infini, je ne sais pas ce que c'est!
Je ne l'ai jamais vu l'infini, moi

De là à dire, que l'infini est une notion quasi-religieuse, dans la mesure où personne ne l'a jamais vu, mais plein de gens y croient; il n'y a qu'un pas!

Que je franchit allègrement!

Et maintenant que deviennent les mathématiques, sans l'infini?

1/0 = N où N est le nombre le plus élevé - le nombre de particules dans l'Univers? - qui puisse être!

Alors, c'est possible de reconstruire les mathématiques sans l'infini?

Answer 1

et comment considérer l'Univers sans cette notion d'infini? Il y aurait un mur tout au bout? Et derrière le mur? Bon j'arrête, ça me fait trop mal à la tête!!

Answer 2

Réponse à la question sur les mathématiques (pas sur la philo ou l'univers).

L'infini en mathématiques n'est pas un objet au même titre que les nombres, les ensembles, les fonctions, etc.
Il n'est qu'un symbole qui sert à alléger les démonstrations, à les rendre plus claires. Ainsi, si on dit "f(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini", ça signifie seulement (par définition!) que pour tout réel M (aussi grand qu'on veut), il existe un Xo au-delà duquel f(x) est plus grand que M. C'est là la DEFINITION de "tendre vers l'infini", et tu remarqueras qu'elle ne fait pas appel à la notion d'infini! seulement à des nombres réels, et des quantificateurs logiques ("quel que soit", "il existe").
"tend vers l'infini" n'est donc qu'une notation, une expression commode pour résumer un comportement qui n'est décrit et défini qu'à partir d'objets "finis".

Et on ne parle jamais, du moins jusqu'en terminale et même un peu au-delà, de l'infini "en soi", seulement de "tendre vers l'infini". Même lorsqu'on parle du cardinal d'un ensemble qui est infini, c'est encore une notation, simplement pour dire "le cardinal n'est pas fini" (à moins d'entrer dans une théorie, dite des cardinaux transfinis, pas au programme de terminale).

Si tu veux des explications sur la définition de l'infini (comment on en fait un objet mathématique à part entière, vers lequel tendent vraiment les fonctions qui <>), il suffit de demander (mais ce serait trop long à expliquer si tu n'as pas déjà les bases de la topologie).

Answer 3

Et le zéro, tu l'as déjà vu?
Les maths sont remplis de concepts, mais il y en a qui sont évidemment particulièrement vertigineux, comme celui d'infini...
Et puis, si N est le nombre le plus grand qui existe, que dire de N+1, NxN, etc...!

Amicalement

Answer 4

Comme beaucoup de concept mathématiques, l'existence de l'infini est basé sur la philosophie, et en contradiction avec la finitude.

"Est infini tout ce qui n'est pas fini".
Pour montrer que l'infini existe il faut et il suffit donc de montrer que certaines choses ne sont pas finies.

par exemple les entiers naturels forment un ensemble infini, car si il était fini ( c'est à dire que je pourrais tous les citer et les mettre dans un nombre fini de cases ) j'arriverais toujours à en trouvé un, qui soit un nombre entier positif (naturel) qui ne soit pas dans ma liste. il suffit pour cela de prendre le nombre le plus grand de ma liste (il existe bien, les maths le prouve aussi) et de lui opérer + 1, pour en trouver un qui ne soit pas dans ma liste, donc cette ensemble est non-fini.
Remarquons ici que le concept d''infini" réside dans le mot "toujours".

Cependant, en mathématiques, tout les infinis ne sont pas les mêmes. infini = pas fini, mais certains infini sont bien plus grand que d'autres (ce qui peut paraître je l'accorde bien troublant). A titre d'exemple, que je me passerais de démontrer ici :) il y a bien plus de nombres réels entre 0 et 0,1 que de nombre entiers dans l'ensemble des entiers, les deux étant des nombres non-finis (donc infini), bien bien plus :)

Answer 5

En fait, les mathématiques détestent l'infini en général. Et il y a plusieurs façon de l'éviter.

Une des façon est d'interdire la division par zéro.

Si une fonction contient une division (du genre 1/(x-3) ) alors on peut soit accepter la division lorsque x = +3 (et il faut accepter l'infini) ou bien il faut faire ce que la plupart des systèmes mathématiques demandent: déclarer que la fontion n'est pas définie à x=3. Par conséquent, quelle que soit la valeur donnée à x (sauf 3, bien sûr), la fonction aura toujours une valeur finie.

Lorsqu'on analyse les valeurs près de x=3, on dira, "lorsque x tend vers 3". Cette expression laisse entendre, normalement, qu'on n'ira PAS à la valeur exacte de 3.

De la même façon, si on utilise l'expression 'lorsque x tend vers l'infini", cela veut dire qu'on donnera à x des valeurs de plus en plus grande (sans nécessairement essayer de toucher à ce fameux 'infini' dont personne ne veut).

En mathématiques, le mot fini a un sens précis. Si un intervalle est fini, alors il existe une vraie valeur que l'on peut nommer et qui représent une borne de l'intervalle.

Si un intervalle n'a pas de borne, alors on dira qu'il est 'infini' (c'est-à-dire le contraire de fini); cela ne veut pas dire qu'on lui reconnaît la valeur infini.

La surface de la terre (en deux dimensions) n'a pas de borne. En partant dans une direction donnée, on peut parcourir la terre sans arrêt, en passant et repassant par le point de départ.

La distance qu'on peut parcourir est sans borne (elle est infinie). Quel que soit le nombre de km que vous voulez imposer comme distance limite qu'on pourrait parcourir, je peux inventer un scenario pour parcourir 1 km de plus.

Mais personne ne pourra parcourir une distance vraiment 'infinie' car la Terre a eu un début et elle aura une fin.

Donc, on peut 'tendre' vers l'infini, sans avoir à accepter l'existence réelle de l'infini.

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Ceci étant dit, il y a des scientifiques qui croient que l'univers entier (pas seulement la partie que nous percevons) est réellement infini...

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Selon les axiomes de Peano (n a toujours un successeur; donc les nombres sont sans borne) 'infini' n'est pas un nombre car il n'a pas d'antécédent (quel nombre est 'infini' moins un?).

Answer 6

si on note N le nombre le plus grans possible =nbre de particules
si le nombre particules naissantes (vie existe) est superieur a celui des part qui meurent (la mort existe) on aura des particules en plus des N particules de depart donc N n'est plus le plus grand donc c'est absurde .
si non N+1 =N : une particule en plus est née et aucune morte :possible
donc soit N =0 et la pas de vie puisque 0 particules
soit N n'est pas comme les autres nombres et la on le note autrement un huit couché convient parfaitement et il doit rester invariablesion lui ajoute autre chose ;et c'est ce qu'on a deja inf +inf + 200 = inf

Answer 7

Pour les questions d'univers finis avec qqch autour, ce n'est pas comme ça qu'il faut voir les choses. Un univers peut être fini mais pas borné : qui a-t-il au delà de la surface de la Terre quand on a fini d'en faire le tour ? La sphère est un exemple d'univers fini mais sans bord. Si notre univers est fini, il est certainement comme cela.


Quant à l'infini en math, et bien si on part des axiomes de Peano, forcément il y a des infinis car n a toujours un successeur. Il faudrait définir d'autres axiomes avec lesquels ce ne serait pas posible, et alors on aurait des maths totalement différentes, inconnues à ce jour.

Answer 8

Pare curiosité, un essai d'axiomatique "sans infini" a été fait, en analyse mathématique. Le seul "résultat" : Tous les calculs (je parle de calculs difficiles) sont encore plus compliqués.

Answer 9

Pour moi infini est un adjectif qui signifie que ce n'est pas fini. L'infini est alors quelque chose d'inachevé. Pour une histoire, chacun pourrait inventer la fin à sa sauce. Pour un univers, le problème c'est que personne ne peut l'imaginer!
En tout cas, c'est vrai qu'elle secoue un peu la tête ta question ;)

Answer 10

oui tu as raison on doit finir avec cet infini