Sobre maximos de una función?

Question

De una hoja circular de radio 2 metros, hay que cortar un sector, tal que enrrollado nos de un embudo de la mayor capacidad posible, halle el angulo del sector circular.

Answer 1

Las dos respuestas anteriores estan equivocadas. Si cortas 360º, te quedas sin hoja circular. La respuesta correcta es la siguiente:

Hay que maximizar la función "volumen del cono" (ten en cuenta que un sector circular es el desarrolo de un cono, o embudo como lo llamas tú).

Debemos conocer la siguiente fórmula:
Area Cono = (Area Base · Altura) / 3

Y estas otras:
Dado un sector circular de radio R y ángulo a, se tiene que:
Radio del cono = ( a · R ) / 360
Altura del cono = Raiz ( R^2 - (a · R)/360)

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En nuestro caso R = 2, por tanto
Radio del cono = a/180
Altura del cono = Raiz (4 - a/180)
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Por tanto, el volumen del cono dado en función del ángulo "a" es:

V (a) = ((Area Base) · Altura) / 3 = [(pi·(a/180)^2)·Raiz (4 - a/180)] / 3
que es la función a maximizar.

Calculas V´(a), lo igualas a cero y calculas los posibles máximos y mínimos, etc... Supongo que el resto podrás hacerlo tu solo.

Un saludo

Answer 2

San Sarah está en lo cierto, ahora mira porque:

Tenemos que el area de un sector circular es:

A = (r^2θ)/2π

Ahora encontramos la primera derivada:

dA/dθ = r^2/2π, como r = 2 tenemos:

dA/dθ = 2/π

Fijate que la derivada es una constante, por tanto la funcion es una linea recta, por lo que debemos evaluar a θ en sus extremos para hallar el punto maximo de la funcion.

como los extremos de θ so 0 y 2π, entonces hacemos lo siguiente:

A = (r^2θ)/2π, r = 2 por tanto:
A = (2θ)/π ===> evaluando a θ en cero tenemos:
A = 0

y evaluando a θ en 2π tenemos:

A = 4

Por tanto el angulo debe ser de 2π para obtener un embudo de mayor capacidad posible

Answer 3

Simple 360º