Alguien que me pueda explicar el tema de limites y continuidad de funciones?

Question

Podríamos empezar con noción intuitiva de límite

Answer 1

como te imaginas que te lo explicaran por aca
que ilusión pana

Answer 2

La definición formal de límite de una función es un punto es:

Sea f una función definida en algún intervalo que contenga a "a". Se dice que el límite de f(x) cuando x→a es L si se cumple que ∀ε>0, ∃ δ>0 / si 0<|x-a|<δ, entonces |f(x)-L|<ε.
Si no se cumple lo anterior se dice que la función diverge a infinito.

(NOTA: Existen otras definiciones como la de límite de una función cuando x→∞).

Esto que parece tan engorroso y dificil tiene una explicación muy sencilla: Cuando la x se acerca al punto a, la función f(x) se acerca al punto límite L.
La función no tiene porque estar definida en el punto "a" (puede tener alguna discontinuidad de salto finito, infinito o evitable). En el caso de que si esté definida se dice que es continua en "a", es decir:

f(x) es continua en x=a si
Lim f(x) = f(a)
x→a

(Es importante recordar que para que exista el límite anterior, debe existir tanto por la derecha como por la izquierda y coincidir).

Ejemplo intuitivo:
Sea f(x) = 10x

Lim 10x = 20
x→2

ya que cuando la x toma valores próximos a 2 (menores que el δ de la definición que dice que existe) la función se aproxima mucho a 20 (menor que el ε de la definición que elegimos arbitrariamente).
Además es continua en x=2 ya que
lim 10x = 20 = f(2)
x→2

Un saludo

Answer 3

Es algo complicado explicarlo por aqui, pero que no se diga que yo no soy valiente voy a intentarlo al menos la primera parte para profundizar mas otro dia otra pregunta vale
Lo primero una idea de lo que es el limite, priomero de una manera intuitiva, primero tienes que decir limite cuando x tiende hacia un valor, que quiere decir eso que la x se acerca a un valor concreto ¿Cuanto se acerca? lo que tu quieras, pero sin llegar a ese punto (como en un sueño que casi llegas a tocar algo pero te falta un algo pues lo mismo x casi llega a valer lo que sea pero no lo toca), bueno pues el limite intenta ver a que valor se acerca la funcion, es decir el valor de la variable y cuando la x se va acercando a ese valor; Veamos un ejemplo f(x)=2x queremos calcular el limite cuando x tiende a 3, nosotros nos queremos acercar a 3 todo lo posible, hombre el 2 esta cerca del 3, pero el 2,5 esta ams cerca y el 2,9 mas aun y el 2,99 mas y el 2,999 mas aun u el 2,9999 si miramos lso numeros mayores que 3 el 4 tambien esta cerca pero el 3,5 lo esta mas y el 3,1 mas a un y el 3,01, mas y el 3,001 mas y asi podiamos seguir, acercandonos sin llegar a ser 3, pero vamos a quedarnos con estos valores y veamos cuanto vale nuestra funcion cuando la x toma estos valores
f(2)=2*2=4; f(2,5)=2*2.5=5; f(2.9)=2*2.9=5,8; f(2,99)=2*2.99=5,98; f(2.999)=2*2.999=5,998; f(2,9999)=5,9998
f(4)=8; f(3,5)=2*3.5=7;f(3.1)=2*3.1=6.2; f(3,01)=2*3.01=6.02; f(3.001)=6.002
Fijate contra mas te acercas a 3 la funcion a que valor se acerca, si te fijas es a 6, ese es el limite de esa funcion
Otra cuestion por la que preguntas es la de la continuidad, tanto limite como continuidad estan muy ligados, la manera de definmir la continuidad mas sencilla, es que una funcion es continua cuando tu la puedes dibujar sin levantar el lapiz del papel, pero es triste pero no se pùede usar esta defnicion necesitamos una mas analitica, vamos a ver si yo no tengo que levantar el lapiz del pael es porque cuando me acerco a un punto por la izquierda todo lo que yo quiero, y me acerco por la derecha todo lo que yo quiero a un punto, la funcion tiene que valer lo mimo no, es decir que existe limite, pero claro tambien la funcion tendra que valer eso porque si no habria otro punto alejado y para llegar a el tendria que levantar el lapiz del papel, por eso una funcion es continua en un punto cuando existe limite y este coincide con el valor de la funcion en el punto es decir f(x0)
No se si te habre aclarado algo espero que al menos las nociones te hayan quedado minimamente claras, de todos modos los limites al final son algo muy mecanico, en cuanto te pongas a hacer ejercicios y veas la mecanica de resolver cada indetreminacion son todos iguales

Answer 4

estamos hablando de limite finito o en un punto
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite 1 cuando x

tiende hacia un valor a y se representa por Lim f(x)=1
x→a
es decir que su valor exista.

Para decir que una funcion es continua se debe cumplir que, i) exista el limite en un punto. ii) la funcion este definida en ese punto a y iii) sean iguales. i=ii
es decir:
Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.

Existe el Lim f(x)=1
x→a

Ambos valores coinciden, es decir .

f(a)= Lim f(x)=1
x→a

Answer 5

Es imposible explicar ese tema en pocas palabras. Te recomendaría leer algo y luego hacer preguntas más puntuales.
En cuanto a la noción intuitiva de límite de una función es estudiar lo que sucede en las proximidades de un punto, no en el punto mismo.
Por ejemplo cuando te preguntas el límite para x tendiendo a 1 de 1/(x-1), la función no está definida en ese punto, pero lo que a vos te interesa es estudiar lo que sucede cuando x se aproxima muchísimo a 1.
Y te vas a dar cuenta que cuando x se acerca infinitamente a 1 el valor de la función crece infinitamente.

Answer 6

no podras resolver tus dudas con q te escriban todo lo q saben... tienes q preguntar q es lo q no sabes exactamente... si gustas enviame tu msn y te agrego para q x ahí lo veamos...