Ecuación de función cónica?

Question

Bien, no entiendo la lógica de la ecuación:
Si el centro es (0;0):
X2 (X2= x al cuadrado) + Y2 (Y2= y al cuadrado)= R2 (radio al cuadrado).

Es que la hipotenusa (luego de realizar la raíz cuadrada) resultante de la ecuación no es el radio, así que no entiendo la ecuación.

Gracias.

Answer 1

Voy a tratar de explicártelo, pero para ello preciso que dibujes unos ejes de coordenadas y con centro en (0,0) traces una circunferencia, Traza ahora un radio, que no coincida con los ejes
Llamaremos O al centro y A al punto de corte del radio con la circunferencia . Desde A traza una paralela a cualquiera de los ejes, hasta que corte al otro eje. Se formara un triángulo rectángulo AOB de hipotenusa OA. Teniendo en cuanta que los catetos son las coordenadas de A, aplica Pitágoras y obtendrás x^2 + y^2= R^2

Answer 2

Se trata de la ecuación canónica de una circunferencia de centro en (0,0) y radio "R" (genérico aún no tiene valor).
No se trata de reemplazar x e y por (0,0).
La ecuación describe todos los pares ordenado que forman una circunferencia de radio R.
Por ejemplo si R = 8, un par ordenado puede ser (2,2) o cualquier otro par que reemplazando en la ecuación sea igual a 8.

Answer 3

Circunferencia de radio R y centro (a,b):

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

Como en tu caso el centro es (a,b)=(0,0) ==> a=0, b=0:

x^2 + y^2 = R^2

Esta ecuación representa el conjunto de puntos (x,y) que distan R unidades del centro en cuestión, en este caso, el origen de coordenadas.
Cualquier x (ó y) que elijas entre (-R,R) te permitirá despejar un y (ó x) real, y tal par (x,y) representará cada uno de los puntos que conforman la circunferencia.
R es una costante -si no lo fuera, necesitaríamos una dimensión más para representarla, y obtendríamos dos conos tridimensionales-.

Otra forma de escribirla es:

y = y(x) = +-raiz ( R^2 - x^2 ), pero justamente, debido al problema de que hay dos soluciones para cada "x" -una positiva y otra negativa-, se prefiere la otra ecuación.
En realidad, poner una variable en función de la otra determina dos funciones (una positiva y otra negativa) que describen la relación entre los puntos del eje entre (-R,R) y su imagen dentro del mismo conjunto, que gráficamente representan la circunferencia mencionada.

Lo que es importante es que la hipotenusa tiene que ser siempre el radio R, por eso para verificar si un punto (c,d) pertenece a la circunferencia, se reemplaza:

x^2 + y^2 = c^2 + d^2, si esto da como resultado R^2, entonces el punto pertenece. Si no, lógicamente, no.

Al hacer el reemplazo por (0,0),

x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0, lo cual es distinto al radio al cuadrado R^2. Esto indica que el centro NO pertenece a la circunferencia (el borde), lo cual siempre es verdadero, pues no forma parte del borde de la circunferencia, si no de su interior (de hecho, la única circunferencia que contiene a su centro como punto es la circunferencia trivial de radio 0, formada tan sólo por el mismo punto). El centro es sólo un parámetro de la ecuación, y no un punto de la imagen de la misma, esa es la gran diferencia.

Espero haber ayudado =).

Answer 4

Seguramente te refieres a las secciones cónicas, a saber:
1) Circunsferencia
2) Elipse
3) Hipérbola
4) Parábola

Que corresponden a los cortes de un plano en diversos angulos de un cono doble (con la forma de un reloj de arena).

Estas ecuaciones se escriben de la siguiente manera

Ax^2 +Bxy +Cy^2 + Dx + Ey +F =0

y dependiendo del caso, corresponden a cada una de los cortes antes mencionados.

El caso mas simple es el de la circunsferencia:

Tomando la definicion de circunsferencia:
Sea P=(x,y) un punto del plano y C la circunsferencia de radio r y O'=(h,k) su centro.
P pertenece a C <=> Distancia (P,O')=r

Queda un triangulo rectangulo de catetos (x-h) e (y-k) y notamos que el radio de la circunsferencia corresponde a la hipotenusa.

Entonces, utilizando el teorema de pitagoras en el plano se tiene:

V((x-h)^2+(y-k)^2)=r (V simboliza raiz cuadrada)


(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2

que es la ecuación de la circunsferencia con centro (h,k).

En el caso de la pregunta se pide centrada, por lo tanto:

x^2+y^2=r^2

Answer 5

la ecuacion del cono que yo conozco es z^2=y^2+x^2 y es muy parecida a la de la circunfencia con centro en (0,0) igual a R^2=y^2+x^2. La Diferencia de estas dos está en que la R es una constante, mientras que la z es una variable. Si analizas el area transversal al eje z del cono, econtraras una circunferencia.

La funcion conica viene hacer como " el conjunto de todas las circunferencias colocadas una encima de otra". Esa es mi manera de enterderla.