chi mi fa un esempio di massimi e minimi relativi?

Answer 1

f(x) = x*(x² -3)

La derivata è
3*x² -3
che si annulla in -1 e +1. Questi sono rispettivamente punti di minimo relativo e di massimo relativo visto che la funzione, facilmente graficabile, tende a +infinito per x positive e a -infinito per x negative.

Answer 2

y(x) = x + (1/x)

y'(x) = 1 - (1/x^2)

y''(x) = +2/(x^3)

y'(x)= 0 = 1 - (1/x^2)

x=+/- 1

Per x=+1
y(+1) = +2
y''(x) = +2 - Minimo relativo

Per x=-1
y(-1)=-2
y''(x)= -2 - Massimo relativo

Valore in massimo < valore in minimo.

:-))

Answer 3

Per esempio:

f: [0, inf[ ---> R
f(x)= e^(-x)*sin(x)

la derivata di f(x) è:
f'(x)= -e^(-x)*sin(x) + e^(-x)*cos(x)

Per trovare massimi e minimi imponi che f'(x)=0, cioè:
e^(-x)*( cos(x)- sin(x)) =0
Visto che e^(-x) ha solo vaori positivi per tutti gli x€R, possiamo scrivere:
cos(x)-sin(x)=0
da cui:
cos(x)= sin(x)
da cui x= pi/4 + k*pi, con k€N

Visto che e^(-x) è una funzione decrescente, e sin(x) ha sempre valori compresi tra -1 e 1, |f(x)| < e^(-x) e quindi per x tendente a infinito f(x) tenderà a 0. La funzione perciò oscilla tra le due funzioni -e(-x) e e^(-x) fino ad annullarsi.
Ci si può dunque aspettare che i valori massimi (assoluti) della funzione siano quando x<< inf, cioè per valori relativamente piccoli.
Adesso studiamo il segno della funzione f:
e^(-x) >0 per tute le x quindi non ci preoccupa,
sin(x) >0 quando x€ ]2*k*pi, 2*(k+1)*pi[, k€N, perciò per valori compresi tra 2*k*pi e 2*(k+1)*pi ci si può aspettare un massimo (relativo o assoluto), perché f(x)>0.
Mentre per valori negativi della funzione, ci si potrà aspettare eventuali minimi.
Ma si nota che il primo valore (massimo o minimo) per cui vale f'(x)=0 è per x=pi/4, f(pi/4)= 0.3224.
Il secondo valore è x= 5*pi/4, f(5*pi/4)= -0.01393.
Il terzo valore è x= 9*pi/4, f(9*pi/4)= 0.0006026
E così via...
Si nota che il primo valore è il massimo assoluto della funzione perché non esiste nessuna c€R per cui vale f(c)> f(pi/4). Invece il secondo è un minimo assoluto perché non esiste nessuna d€R per cui vale f(d) < f(5*pi/4). Tutti gli altri massimi trovati dall'equazione f'(x)=0 (infiniti) sono alternativamente massimi risp. minimi RELATIVI della funzione.
I massimi relativi sono dei massimi solo prendendo in considerazione un intorno di quel punto, cioè per x_0 massimo, esiste una E>0 per cui per tutte le x€ ]x - E, x + E[, il valore considerato è un massimo assoluto (solo in quell'intorno). Stessa cosa per i minimi relativi.
Spero che tu abbia capito...
Ciao!

Answer 4

http://progettomatematica.dm.unibo.it/StudioFun/max&mineserx.html


http://www.math.unipd.it/~zanella/libro_geometria/addendum_estrelativi.pdf


ciao