Por qué la división no es una operación definida en el conjunto de los N?

Question

Se sabe que una operación definida en el conjunto de los naturales es por ejemplo la suma y la multiplicación.... pero... por qué se considera que la división no es una operación definida en el conjunto de los números Naturales?

A que se refiere?

Answer 1

Porque para que esté definida, es necesario que el resultado que resulte de una división esté incluido en los N, lo cual no siempre sucede (en general, cuando se intenta dividir un número natural por otro natural que NO sea su divisor). Dicho de otra forma, no está definida porque no se cumple la Ley de Composición Interna (LCI) (la división de naturales no siempre equivale a un natural).

Formalmente:

/ : N x N --> Q, pues la división de dos números naturales siempre está incluida en Q, ya que los números racionales son números resultantes de la división entre dos enteros (y los naturales son a su vez, números enteros).

Por esta razón, es posible definir la división dentro de los racionales:

/ : Q x Q --> Q (dividir dos racionales equivale a otro racional - cumple con LCI ).

Y junto con las condiciones de tener elemento neutro e=1 (incluido en Q), ser asociativa y tener cada uno su elemento inverso / simétrico (para un número "a", su inverso es "1/a" pues a*(1/a)=1=e ), cumple que:

( Q ; / ) es grupo.

( N ; / ) no lo es por no cumplir con LCI y falta de elemento simétrico ( no existe "a' " para cada "a" tal que a*a' =1=e ).

OTROS EJEMPLOS:

La suma y la multiplicación en los naturales sí son LCI, pues:

+ : N x N --> N. (a,b naturales ==> a+b natural)
* : N x N --> N. (a,b naturales ==> a*b natural)

Sin embargo, la resta NO está definida en los N, pues para cualquier a, b natural, a-b NO siempre es natural. Por eso, no cumple con LCI.

Por ejemplo a=4, b=6 naturales, pero a-b= -2, que no natural.
En realidad:
- : N x N --> Z.

En cambio,
-: Z x Z --> Z si cumple con LCI.

Espero haberte ayudado con estos ejemplos, saludos =)!

Answer 2

px no los naturales con la operacion division (N; / ) no tiene estructura de grupo . no cumple dos condiciones :
-No es cerrado en N o sea ke si divido dos numeros naturales entre si el resultado no necesariamente es otro numero natural
NO es asociativa
a/(b/c) no es igual a : (a/b)/c ej:
4/(6/3)=2 no es lo mismo ke (4/6)

Answer 3

Porque el resultado de la división puede ser un número racional (fracción de la forma a/b, donde b es diferente de 0)

Answer 4

Fácil...

La división NO es una operación bien definida ya que no cumple las cuatro propiedades básicas que debe cumplir una operación para decir que esta es una operación bien definida

Esas propiedades básicas son:
-Propiedad clausurativa u operacion interna
-Propiedad conmutativa
-Propiedad modulativa o elemento neutro
-Propiedad asociativa

Es importante decir que para que una operacion este bien definida tiene que cumplir la propiedad de tanto derecha como izquierda