Il poblema di Cauchy....? Halp my..?

Question

Aiuto!! Non riesco a capre come risolvere il propblema di Cauchy (o problema dei valori iniziali).. potreste spiegarmi il procedimento logico?

Ho questo esempio:
(sarebbe da mettere a sistema, ma non riesco a mettere una parentesi graffa così grande qui)

y'=2y
y'(1)=5



Studentessa disperata!

Scusate, ho aggiunto una derivata di troppo, l'esempio corretto è questo:

y'=2y
y(1)=5

Answer 1

Si tratta di una equazione differenziale del primo ordine omogenea. Quindi è del tipo
y' + a(x)y = 0

L'integrale generale è dato da y(x) = c*e^(-A(x))
Dove A(x) è una primitiva di a(x).

L'equazione considerata è y' - 2y = 0
dove a(x) = -2
e si vede banalmente che una sua primitiva è A(x) = -2x

Quindi possiamo calcolare l'integrale generale dell'equazione differenziale

y = c*e^(2x)
Il problema richiede che
y(1) = 5
Quindi andiamo a sostituire queste condizioni nella soluzione trovata

5 = c*e^2
da cui
c = 5*e^(-2)
Abbiamo trovato il valore della costante che soddisfa la condizione richiesta, allora

y = 5*e^(-2)*e^(2x)
quindi
y = 5*e^(2x - 2)
è la soluzione particolare del problema di Cauchy.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 2

confermo come detto su...CIAO!!!

Answer 3

molto brava Lulisja.

infatti alla fine , per ritornare al discorso di Cauchy, puoi verificare che la derivata della y così trovata è 2 volte la y stessa.