Saurez vous répondre en justifiant par un théorème ?

Question

Un moine a deux ermitages: l'un au pied d'une montagne et l'autre au sommet.
Le premier jour, il quitte l'ermitage d'en bas un peu avant le lever du soleil, gravit la montagne, ne s'arrête qu'une fois pour déjeuner, et parvient à l'ermitage d'en haut un peu après le coucher du soleil.
Le deuxième jour, il part de l'ermitage du sommet de la montagne un peu après le lever du soleil, redescend en empruntant exactement le même chemin que la veille, s'arrête plus longtemps que la veille et parvient à son ermitage d'en bas un peu avant le coucher du soleil.
Y a t-il un point du trajet où il est passé à la même heure les deux jours ?

Answer 1

Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à la fonction qui donne la différence d'altitude à la même heure entre le premier et le deuxième jour.
f(lever du soleil) = - hauteur de la montagne
f(coucher du soleil) = hauteur de la montagne

La fonction f étant continue, f s'annule au moins une fois entre le lever et le coucher du soleil: ce point correspond à l'endroit où le moine est passé à la même heure les deux jours.

Answer 2

Pas besoin de théorème ni du plus petit calcul! Imaginons qu'il y ait le troisième jour deux moines qui fassent les deux trajets en sens inverse, de la même façon que le moine des deux premiers jours. Ils ne peuvent pas se manquer, puisque celui qui monte était sur la montagne pendant tout le temps où l'autre descendait!
Ils doivent se croiser, car on peut supposer qu'ils prennent le même chemin, et à ce moment là, ils seront au même point à la même heure!

Answer 3

ce serait pas le théorème des valeurs intermédiaires par hasard ?

Answer 4

Soit f(t)=a(t)-b(t), où:
t est une heure de la journée.
a(t) est la distance à laquelle le moine se situe de l'ermitage du bas à l'heure t le premier jour.
b(t) est la distance à l'ermitage du bas à l'heure t le deuxième jour.
Les fonctions a et b sont des fonctions continues de t, donc f aussi.
La fonction f prend une valeur strictement négative le matin et strictement positive le soir.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une heure t où f s'annule et c'est le moment cherché.

PS pour les petits malins: il n'est pas dit que le moine s'arrête au même endroit pour déjeuner ni qu'il s'arrête à la même heure.
PS2: La solution juste au dessous ne marche malheureusement pas puisque plusieurs points du chemin peuvent être à la même altitude (c'est étrange que quelqu'un ait sorti la première version de ma solution - celle avec l'altitude - cinq minutes après moi héhéhé...).

Answer 5

Oui, là où il s'est arrêté.