"verificare che l'equazione x - arctan(x^2) - (e^(-x))/(1+x^2) = 0 ammette almeno una soluzione positiva"

Question

"provare che l'equazione e^(-x) + sin x = 4x ammette un'unica soluzione positiva"

Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questo genere di esercizi..potreste aiutarmi? Grazie....
Ciao ciao!

Answer 1

Ciao,
per il primo esercizio di basta considerare il fatto che
f(x)=x - arctan(x^2) - (e^(-x))/(1+x^2) è continua su tutto R e che lim x--->+/- inf di f(x) = +/- inf
allora per la continuità ammetterà almeno uno zero (teo degli zeri)
per il secondo, o fai come ha detto federica o raf oppure consideri quando f(x)=e^(-x) + sin x - 4x= 0 per x>0 che sono equivalenti.
f(x) continua e derivando:
f'(x)= -e^(-x) + cos x - 4 allora f'(x)<= -e^(-x) - 3 che è minore di zero per ogni x quindi f(x) è anche monotòna decrescente, allora:
f(0)=1 e lim x--->+inf f(x) = -inf
per la continuità e monotonicità ammette un solo zero in R^+.

p.s. per il primo ho visto ora che chiedevi radice positica basta vedere che f(0)=-1 e lim x--->+ inf di f(x) = + inf .
sempre per continuità avrà almeno uno zero in R^+, non possiamo dire di più perchè non conosciamo il comportamento potrebbe averne anche di più.

x FEDERICA
ho visto dopo che chiedeva radici positive infatti mi sono subito corretto..non è che ci voleva molto di più!!
e so cosa dice il teo degli zeri..
la tua risposta:"se vuoi usare la continuità"..a me pare il modo più immediato..e non disegnare i grafici, per il secondo ci può anche stare, per il primo direi proprio di no!
di vai ad incasinare quando con due calcoli hai la soluzione!
scusami essendo tu una matematica, i matematici non sono quelli che cercano di fare meno "sbattimenti" possibili?

Answer 2

Puoi studiare il grafico di

f(x)=e^(-x)+sin x

ed intersecarlo con la retta

y=4x

e verificare che esiste una sola intersezione in corrispondenza di un x positivo

Answer 3

questo tipo di esercizi sono abbastanza facili con lo studio di funzione perche' non ti richiedono la soluzione ma solo il umero di soluzioni. Ti scrivo la seconda perche' e' piu' corta
scrivi
e^(-x)/4x=-\sin(x)/4x con x diverso da zero (puoi verificare che x=0 non la risolve a parte)
studi i due grafici e li disegni sovrapposti.
Ovviamente le intersezioni sono le soluzioni. Non riesci a trovarle numericamente ma il grafico ti dice quali sono positive e quali negative. Si chiamo studio qualitativo di equazioni o disequazioni. Le disequazioni (se ti capitano) sono piu' delicate perche' in questo caso per esempio per x<0 cambia il segno.

x MYSKIN: Il teorema degli zeri dice assai poco sul segno dello zero e lei sta chiedendo soluzioni positive.Se vuoi usare la continuita' pe rla prima equazione, allora puoi procedere cosi':
la funzione in 0 vale -1 che e' negativo il limite a +\infty e' +\infty quindi essendo continua interseca l'asse delle x(ovvero ha una soluzione) in un punto strettamente positivo.
Commento: "Se vuoi usare la continuita' " non era un'offesa ho solo aggiustato la tua risoluzione seguendo il tuo ragionamento. E' certo il modo piu' efficace in quel caso particolare solo che a volte e' meglio dare quello piu' generale a uno studente perche' deve imparare una tipologia di esercizi e dopo raffinarli se e' in grado di farlo.Sono sicura che conosci benissimo il Teorema degli zeri...figurati se volevo essere offenderti!...la polemica la lascio per le domande di politica!:)

Answer 4

prova a studiare perchè non dobbiamo mica farteli noi i compiti