SENX/X (equis equivale a cero) es igual a 1?

Question

Como se demuestra eso? he estado leyendo el libro de Leithold y no encuentro una explicacion clara a esto. Si alguien sabe estaria muy agradecido en que me explicara porque es igual a 1 si Sen de 0 es igual a 0 y 0 entre 0 es 0, es una duda que he tenido desde hace unos dias. Gracias de antemano.

Answer 1

Pues, lo primero es que "x" no es cero, lo que pasa es que se toma el limite cuando "x" tiende a cero, es decir, x se aproxima mucho al valor 0, mas no lo toma. Esto se aplica tanto en trigonometria como en fisica, cuando se analiza un grafico o un fenomeno con angulos pequeños :

senx = x = tanx

Eso se cumple cuando x tiende a 0, pero veamos :

Lim x ->0 (senx / x) = 1

una forma de demostrarlo es aplicando L' Hospittal :

El metodo nos dice que derivemos el numerador y el denominador hasta que la expresion nos sea util para aplicar el limite :

Lim x ->0 (senx / x) = Lim x ->0 (cosx / 1)

Aqui recien igualamos x = 0, cosx es 1, por lo tanto, tenemos que :

Lim x ->0 (senx / x) = Lim x->0 cosx = 1

L' Hospitall se aplica para levantar la indeterminacion de un limite, te vas a cruzar con limites donde si igualas el valor de x al valor del limite dado te quedara : 0 / 0 o sino, infinito / infinito.
Justamente para evitar esto se aplica la regla de L' Hospitall, para poder calcular el limite.

Entonces recuerda : Lim x ->0 (senx / x) = 1

Nos vemos

Answer 2

Creo que la pregunta está incorrectamente planteada. La expresión de referencia sen(x)/x toma el valor 1 si se toma el límite Lím (sen(x)/x) = 1 para la variable "x" tendiendo a cero.
Se debe tener en cuenta que la "tendencia" de una variable hacia un límite, no implica que asuma ese valor.
En el caso en que x=0 se tendría una expresión indefinida de 0/0 que no tiene significado matemático.

Lím sen(x)/x = 1 , para x tendiendo a 0

Answer 3

Si trazas una circunferencia trigonométrica y dibujas los segmentos correspondientes al seno, la tangente y el arco x, y analizas ahora que sucede cuando el arco se hace cada vez más chico notarás que esos tres segemntos se acercan cada vez más y con solo achicar el arco esos segnmentos se funden cada vez más en uno solo
En 0 valen 0, pero al acercarse a 0, no valen 0, pero si son todos de la misma medida . Por ésto es que los cocientes respectivos están tendiendo a 1