Question difficile?

Question

Trouver une relation d'équivalence ~ sur le segment [0;1] telle que le quotient I / ~ soit homéomorphe au carré [0;1] x [0;1].

Je viens juste de trouver ça, c'est assez joli puisque ça veut dire (par récurrence) que dans un simple segment on a déjà toute l'information suffisante pour fabriquer à peu près n'importe quel compact connexe par arcs de IR^n, pour tout n...


Au fait personne n'a encore répondu aux dernières questions non triviales que j'ai postées...

Pour répondre à fatifurbou, tu as raison c'est ma faute, j'avais cru lire "mathématiques" en titre de cette catégorie, mais au vu des questions couramment posées il semble qu'ici ce soit une expression pour dire "calcul".

Au fait je précise que je ne pose pas de questions dont je n'ai pas trouvé la réponse, donc au cas où vous êtes intéressé vous pouvez demander une indication.

Answer 1

Et bien, on peut partir de la courbe de Peano. J'ai donc une application continue surjective f de [0,1] dans [0,1]x[0,1]. On définit ensuite la relation d'équivalence suivante : x1~x2 si f(x1)=f(x2).
L'application f passe au quotient pour donner un homéomorphisme. I/~ est homéomorphe à [0,1]x[0,1]

Answer 2

Si ma mémoire est bonne, une relation d'équivalence est une relation reflexive, symétrique et transitive. Ok, tu la notes ~

Donc
- a~a est vrai
- a~b => b~a
- a~b et b~c => a~c

Mais là où je décroche, c'est quand tu parles du quotient I / ~
Un quotient, c'est une division !
La division de I (?) par une relation d'équivalence, ça veut dire quoi ?

L'homéomorphisme, Ok, je connais.
la récurence aussi.

un compact connexe par arcs ???

Et après tu te plains que personne ne répond !

Answer 3

Bon je suppose que I est l'intervalle [0;1] et que tu quotientes cet intervalle par ta relation d'équivalence. Pour que ce soit bien propre, mieux vaudrait travailler sur I = [0; 1[ et établir un homéomorphisme avec I² .
Je te propose la relation d'équivalence: x ~ y <=> x et y ont les mêmes décimales impaires dans leur écriture décimale propre.
Deux nombres d'une même classe d'équivalence diffèrent donc uniquement au niveau de leurs décimales paires. Inversement, en connaissant la classe d'équivalence d'un nombre et les décimales paires, on peut reconstituer le nombre d'origine.
On s'inspire de cela pour trouver le difféomorphisme cherché.
Au nombre x écrit sous forme décimale propre: 0,a1b1a2b2...
(où les ai sont les décimales impaires et les bi les décimales paires) on fait correspondre le couple:
(0,a1a2.... ; 0,b1b2....).
Content?

Le truc que tu as trouvé est en fait à la base de la réflexion sur les cardinaux infinis: une démonstration de ce type permet de montrer qu'il y a autant de nombres dans R^n que dans R. En revanche, on peut montrer que cette infinité est d'une autre nature que celle des entiers naturels et des anneaux construits à partir de N (Q par exemple). C'est ce que l'on appelle la "puissance du continu".

Answer 4

Bonjour,

Je ne parviens malheureusement pas à trouver une relation d'équivalence répondant aux critères donnés. Ca a l'air fort intéressant, pourrais-tu me donner un "coup de pouce" - merci !

Answer 5

tu merite une reponse facile

Answer 6

Réponse facile alors.....

Answer 7

Je suis étonné par cet énoncé. En tout cas, on ne peut pas trouver de bijection entre le segment [0,1] et le carré[0,1]x[0,1]

Answer 8

Ce n'est pas un site de devinettes ni de concours général!!
C'est un site d'entr'aide tout simplement, et de partage de connaissances, alors bonne nuit!

Answer 9

En calcul de probabilité, tu as une chance infinitésimale d'intéresser une personne sur ce site, voir même ailleurs.
Peut être la solution est-elle ailleurs ?