como demuestro que si a>0 entonces a + 1/a >= 2 ?

Question

No se como demostrar, si ademas me dijeran los pasos que debo seguir para demostrar algo y cuantos tipos de demostracion hay, me ayudaria mucho!

creo que ya lo pude demostrar:

a+ 1/a >= 0

(a^2 + 1)/a >= 0

a^2 + 1= 2a

a^2 + 1 -2a = 0

(a-1)^2 = 0

lo que es verdadero por la siguiente propiedad:

para todo XeR ---> x^2>=0


creo que asi esta bien, la verdad estoy recien aprendiendo a demostrar, ahora lo que nesecito es alguien que me diga cuales son todas las formas de demostrar algo, o que me de una página que me pueda ayudar.

gracias!

Answer 1

Supongamos que a + 1/a < 2

a^2 + 1 < 2a

a^2 - 2a + 1 < 0

(a - 1)^2 >0

Y esto es un absurdo pues un cuadrado de números reales no puede ser negativo.
Este absurdo provino de suponer que a+ 1/a < 2, por lo tanto debe ser lo contrario a + 1/a >= 2.

Existen la demostración directa, la demostracion por el absurdo (el caso de esta) o por el contrarrecíproso que negando la hipótesis se llega a la negación de la tesis

Answer 2

ing_alex, destacado colaborador:

Tus soluciones son precisamente de ingeniero y distan mucho de verdaderas demostraciones matemáticas. Al probar con un número en específico, sólo demuestras que la proposición es válida con ese valor en específico, pero jamás pruebas que para cualquier valor (dependiendo de lo que tengas de hipótesis), se cumpla también.

Eres un caso palpable de que a la ingeniería no le interesa porqué ocurren las cosas que ellos mismos emplean con las matemáticas, simplemente pasan.

Answer 3

Obviamente las respuestas de ing_alex y de ivan son erróneas, porque para demostrar que un enunciado es verdadero nunca alcanza con proponer ejemplos, pues ¿quién garantiza que no exista al menos un caso en que no se cumpla?
Lo que te dice Juan Eduardo tampoco es correcto. Para demostrar una igualdad no podés trabajar con ambos miembros, estarías usando un razonamiento lógico erróneo. Y por supuesto, no sirve de nada partir de suponer correcto lo que quiero demostrar y haciendo pasos lógicos llegar a algo que conozco es verdadero, pues eso no prueba que un condicional sea verdadero. Acordate que en un condicional puedo partir de premisas falsas y llegar a conclusiones verdaderas.

La demostración de silvia g es perfecta.

Por contrarrecíproco sería así:
Hipótesis: a + 1/a < 2
Tesis: a <= 0
Partamos de la hipótesis:
a + 1/a < 2
a + 1/a - 2 < 0
Sacamos denominador común a:
(a^2 - 2a + 1)/a < 0 --> ((a - 1)^2)/a < 0
Como el denominador de esta fracción es positivo, entonces no queda otra que a < 0, y si se cumple esto también se cumple que a <= 0 (menor "o" igual, con que se cumpla uno de los dos es verdadero)
Luego, el contrarecíproco del condicional que vos tenías es cierto, por lo tanto el condicional directo también lo es.

Edito: damog, sos el perfecto ejemplo de "haz lo que yo digo pero no lo que yo hago". Le decís a ing_alex que un ejemplo no basta para hacer una demostración (en lo que estamos de acuerdo, yo también se lo dije), pero después te basás en el ejemplo de su respuesta para sacar una conclusión general sobre los ingenieros.
Para "demostrar" que tu afirmación es errónea, acá va un contraejemplo: yo soy estudiante de ingeniería electrónica.
Y si de verdad creés que no nos interesan los por qué de las cosas, entonces no tenés ni la más mínima idea de lo que se estudia en la carrera de ingeniería, al menos la de electrónica.
La próxima, por favor, no nos juzgues a todos por las acciones de unos pocos.

Answer 4

Ya has descubierto el secreto!!! Felicitaciones. Vas por buen camino...

Y al estimado amigo Damog, cuídese de las afirmaciones que hace... No está mal que a la ingeniería no le interese por qué ocurren las cosas que ellos mismos emplean con las matemáticas. Debemos recordar que a las matemáticas, y a cualquier otra ciencia que quieras elegir, tampoco le interesa por qué ocurren las cosas, sino que la única preocupación es saber de qué forma ocurren, ocurrieron y ocurrirán siempre. Es una diferencia sutil, pero fundamental!!!

¡¡¡Aguante la epistemología!!!

Answer 5

Las demostraciones siempre son las mas dificiles, la idea es trabajar una de las dos relaciones y llegar a la otra o trabajar las dos y llegar al mismo punto.con eso se demostraria, eso se puede hacer tanbien en identidades trigonometricas, Para este caso lo facil es trabajar la mas complicada y llegar a la sencilla

a+1/a>=2 entonces sumo a+1/a para hacerla yo puedo suponer que a=a^2/a entonces
a^2/a+1/a>=2
(a^2+1)/a>=2 ahora multiplico a en ambos lados de la inecuacion y partiendo del hecho que a>0 la el sentido de la desigualdad no cambia por lo tanto
a^2+1>=2*a paso 2*a al otro lado
a^2-2*a+1>=0 factorizando
(a-1)(a-1)>=0

por lo tanto eso se cumple unicamente para a>=1

saludos

Answer 6

La demostración es mucho mas sencilla:
a+1/a >2. Es evidente que si a>=2 y le sumo una cantidad, por pequeña que sea dará mayor que dos,
Probaremos con el numero mas pequeño, es decir 1
1+1/1=2
Si damos un valor mayor que uno, el resultado seria mayor de 2, como queríamos demostrar.
De cualquier forma, tu solución es valida

Answer 7

si me dices que la variable "a" es discreta está super fácil porque vasta con reemplazar con 1 y te dá que es >=2
(reemplazar con 1 porque se exige que a>0 ó a=positivo)

pero si la variable es contínua... aplicando el límite cuando "a" tiende a cero la cosa me dá uno y no se cumple que sea mayor o igual que 2.


el numero exacto:

si haces una inecuación: a + 1/a >= 2
y la resuelves: a^2 +1 >=2 / multiplicando por a
a^2 - 2a +1 >= 0
luego: (a-1)(a-1) >= 0 /regla general*
y me sale que a >= 1

si, "a" debe ser siempre mayor o igual que uno para que se cumpla los dos requisitos que pides.

_______________________________________________
*regla general de ecuaciones de 2do grado.^
[ -b +- raíz(a^2 - 4*a*c) ] /2*a
_______________________________________________

ojala sirva para que analices con tus conocimientos.

suerte!!!

Answer 8

Mira Klausz

Dale Valores a (a) Mayores a (0) en la Desigualdad, para ver si se cumple

a + 1/a >= 2

Para a = 1

1 > 0


1 + 1/1 >= 2

2 = 2 si se cumple


Para a = 2

2 > 0


2 + 1/2 >= 2.5

2.5 > 2 si se cumple

y asi sucesivamente dandole valores mayores a (0) si se cumple

Suerte