Como funcionan los espacios vectoriales?

Answer 1

Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores que cumple una serie de propiedades, que se muestran a continuación. Si u, v, w son elementos de V, entonces se verifica que:

1a. u + v es un elemento de V
2a. (u + v) + w = u + (v + w)
3a. u + v = v + u
4a. Existe un vector 0 tal que 0 + u = u
5a. Todo vector v tiene un opuesto –v tal que v + (-v) = 0
Si λ y µ son números reales, se cumple también que:

1b. λ·u es un elemento de V
2b. (λ + µ)·u = λ·u + µ·u
3b. λ·(u + v) = λ·u + λ·v
4b. (λ·µ)·v = λ·(µ·v)
5b. 1·v = v


Si S = {vi} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma dimensión, todas las combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado por los vi. Si el conjunto B = {wj} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m.

Answer 2

Un espacio vectorial debe cumplir 10 axiomas que son:

1 ° es operación al efectuar la multiplicación debe dar un real
2 + es operación " " debe dar un real
3 conmutativa u+v=v+u
4 asociativa (v+w) + u= v+ (u+w)
5 neutro aditivo v+0=0+v=v
6 inverso aditivo v + (-v)= 0
7 neutro multiplicativo 1°v=v
8 r esta en k(escalar) r(u+v)=ru + rv
9 r,s esta en K (r+s)u= ru + su
10 (rs)v=r(sv)

debes verificar cada regla y si cumple con todas es espacio vectorial

Answer 3

La fuerza de la gravedad crea un espacio vectorial ya que para cada punto del espacio tridimensional podemos representar la fuerza en ese punto mediante un vector que apunta al centro del cuerpo y cuya longitud indica la magnitud de la fuerza según la ley de la gravitación universal de Newton. Deduciras que como mas nos alejemos del centro mas cortos son estos vectores ya que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro.

En la naturaleza es así y en las representaciones gráficas se utiliza una cantidad limitada de vectores para hacerlos "visibles", hay programas como Mathematica que te hace gráficos 3D de cualquier campo vectorial.


De la misma forma puedes imaginarlo para los campos eléctricos y magnéticos o para cualquier otro fenómeno que implique fuerzas según algún orden.