Probléme ouvert de MATHS : Quel est l'ensemble des réels x tels que x ² - x est rationnel?

Answer 1

x²-x rationnel s'écrit: x²-x=r où r désigne un rationnel indéterminé, et cette équation se résout en :
(x-1/2)²=r+1/4, qui est un rationnel >=0
Donc: x²-x est rationnel si et seulement si x s'écrit sous la forme :
x=1/2 +ou- [rac.carrée (z) ]
où z est un rationnel positif ou nul quelconque, ce qui décrit l'ensemble en question.

Remarques: Tout rationnel est solution, bien sûr.Mais il existe des solutions qui ne sont pas des nombres rationnels, comme 1/2 + rac.carrée (2) . Et il existe des réels qui ne sont pas des solutions, comme PI et tout nombre qui n'est pas "algébrique".

Answer 2

Il n'y a pas que les rationnels. Pour voir cela, il faut résoudre l'équation du second degré x^2-x-p/q=0 avec p et q des entiers. J'ai supposé en plus q positif non nul. En faisant cela, on obtient que les nombres recherchés sont les nombres de la forme suivante :
1/2(-1+/-rac(q+4p)/rac(q)) où rac(.) désigne la fonction racine carrée et q+4p est positif.

On peut reformuler cela de la façon suivante : les nombres recherchés sont les nombres de la forme suivante : 1/2(-1+/-Rac(a/b)) où a et b sont des entiers positifs, b est non nul et a=b mod 4.

P.S : Comme nirgal117 le suggère, l'hypothèse "a=b mod 4" n'est pas nécessaire. En effet, si a n'est pas égal à b modulo 4, il suffit de multiplier par 4 a et b pour s'y ramener. Cela dit. Même si la formulation est maladroite, le résultat n'en est pas moins exact (mauvaise fois inside ;-)).

Answer 3

La derniere réponse est presque bonne, la réponse est en effet E = l'ensemble des x qui s'écrivent -1/2*(1+/-racine(r)) avec r un rationnel positif qui peut s'écrire sous la forme a/b avec a et b deux entiers de même signe et b non nul. Mais on ne doit pas avoir nécessairement a=b modulo 4.
Cet ensemble E contient tous les rationnels mais pas tous les réels: Q est inclus dans E qui est inclus dans R.

Answer 4

x(x-1)
je suppose que x=0
ou bien (x-1) = 0
x=1
l'ensemble des réels x: {0 ; 1}

Answer 5

demande ton professeur. je ne suis pas un professeur de math ici

Answer 6

x² appartient au réel positif et x²>x donc je dirais R+

Answer 7

Je pense qu'il s'agit de Q tout simplement mais c'est juste au feeling...

Answer 8

C'est l'ensemble Q des rationnels (qui est inclus dans R).
Demonstration: Soit x rationnel. il existe donc n,p tels que x=n/p
x2-x = (n/p)2-n/p = (n2-pn)/p2
donc x2-x est bien rationnel puisqu'il peut s'ecrire sous la forme N/P.
Maintenant il suffit d'avoir un reel x tel que x soit reel et non rationnel de tel sorte que x2-x ne soit pas rationnel. x=Racine(2) verifie cela puisque x2-x = 2-racine(2) qui n'est pas rationnel.
C'est tout !

Answer 9

L'ensemble des réels R!

Answer 10

les deux chifres 1 et 0!!!!!!!!!