¿es posible encontrar soluciones para la ecuacion a!b!=a!+b!+c! para algun c entero positivo?

Answer 1

Si tenes dadas a y b y necesitas encontrar c, no siempre se puede, contraejemplo a=2 b=3
2!*3! = 2! + 3! + c!
12 = 2 + 6 + c!
c! = 4 no existe tal c entero

Si tenes dado c y necesitas encontrar a y b esto es mas dificil
c! = a!*b! - a! - b!
Supongamos que existe tales a y b
Notar que ni a ni b puede ser 1 ya que da c! = 0

1) Sea b>=a (caso a>b es el mismo)
si b distinto de a: b! = a!*(a+1)*(a+2)*...*b
si son iguales .. : b! = a!*1

Notacion para facilitar las cosas: (a+1)*(a+2)*...*b = [a,b]
si a=b => [a,b] = 1

Sigamos:
c! = a!*a!*[a,b] - a! - a!*[a,b]
c! = a! * (a!*[a,b] -1 -[a,b]) ..................(1)
se ve aca que c! > a! o sea
c! = a!*[a,c]

Dividimos (1) por a!
[a,c] = a!*[a,b] -1 - [a,b]
[a,c] + 1 = a!*[a,b] - [a,b]......(factor comun)
[a,c] + 1 = [a,b]*(a! - 1) .... (dividimos por [a,b])

[a,c]/[a,b] + 1/[a,b] = a! - 1
Si b>c ([a,b]=[a,c]*[c,b]) => ([a,c]+1)/[a,b] = a! - 1
solo tiene sentido si [a,c]+1 = [a,b], pero esto no puede ser ya que [a,c]+1 no es = [a,c]*[c,b] (ya que [c,b] >= 2)
O sea que c > b.

[b,c] + 1/[a,b] = a! - 1
que solo tiene sentido si 1/[a,b] es entero o [a,b] = 1, es decir a=b

Bueno, hasta ahora demostramos que solo existe solucion, si a=b

En este caso
[a,c] + 1 = a! - 1
a! - [a,c] = 2 o lo que es lo mismo
c! = a!*(a! - 2)

sigo pensando mañana que ya me canse ^^.

Answer 2

lo mas seguro es que si...solo ten paciencia

Answer 3

claro, que si, solo tienes que tener los valores de las constantes y relaizar las peraciones, que factoriales, y como c es entero y positivo con mucho mas razon.

suerte, saludos . bye

Answer 4

Creo que esto puedes resolverlo por inducción matemática. busca en algún libro o temas de Algebra Superior

Answer 5

si a b y c son incognitas deves de tener tres ecuaciones distintas y asi poder resolverlas