Petit problème de probabilités?

Question

Jean emprunte un transport en commun pendant trois jours de suite(Lundi, Mardi,Mercredi).
Lundi la probabilité d'être contrôlé est 0,1
Chacun des jours suivants, la probabilité d'être contrôlé est 0,01 s'il a été contrôlé la veille, et 0,15 s'il n'a pas été contrôlé la veille.
on dispose de l'information suivante : Jean est contrôlé Mercredi.
Quelle est la probabilité qu'il ait aussi été cotrôlé Lundi?

______________________________

CE N'EST PAS UN FAUX PROBLEME : on demande la proba qu'il ait été contrôlé Lundi "sachant" qu'il est contrôlé Mercredi. C'est un problème de proba conditionnelles
______________________________

_______________________________

D'ailleurs, intuitivement on sent bien que s'il est contrôlé Mercredi, la proba qu'il l'ait aussi été Lundi est très faible, beaucoup plus faible que 0,1
_______________________________

____________________________

J'ai fait une erraur en disant plus petit que 0,1 (manipulation de calculatrice)
Excusez-moi
____________________________

______________________________

RAYMOND non, mon problème n'est pas mal posé !
En fait il paraît bizarre car on demande une proba du passé sachant qu'un événement futur est réalisé

Answer 1

C'est vrai que cet énoncé est franchement bizarre car on ne voit pas a priori pourquoi la probabilité d'un contrôle le lundi ne dépendrait pas des contrôles effectués la semaine passée. Enfin bon.
On choisit l'univers des événements: les triplets de la forme (c,C,c), par exemple, où "c" signifie "pas contrôlé" et "C", contrôlé, pour chacun des jours.
On calcule les probabilités des événements:
(C,C,C)
(c,C,C)
(C,c,C)
(c,c,C)
Probas correspondantes:
0,1*0,01*0,01 = 0,000 01
0,9*0,15*0,01= 0,001 35
0,1*0,99*0,15 = 0,014 85
0,9*0,85*0,15 = 0,114 75
On calcule la somme du premier et du troisième événement et on divise par la somme complète et on obtient 12,8%.

Et non cette probabilité n'est pas inférieure à 10% puisque, s'il est vrai qu'un contrôle est peu probable le mardi après avoir été contrôlé le lundi, si l'on n'a effectivement pas été contrôlé le mardi, on a 15% de chances d'être à nouveau contrôlé le mercredi.

Answer 2

En fait ça dépend surtout si Jean a le teint mat ou pas, s'il est noir la probalité d'etre controlé sera plus importante.
Oups désolée, j'ai répondu à côté.

Answer 3

0.09

Answer 4

Effectivement, a minima le problème est mal posé.

En fait Jean a été contrôlé Mercredi. Ce qu'on peut te dire c'est "pouvait-il s'y attendre ou pas".
Soit P1 la probabilité d'être contrôlé le lundi, P2 le mardi et P3 le mercredi.
P2 sera la somme des deux événements disjoints indiquant que 0,01 chance d'être contrôle si contrôle le lundi et 0,15 si pas de contrôle le lundi.
P2 = (0,01xP1) + (0,15x(1-P1))
Donc P2 = P1x(0,01-0,15) + 0,15
Donc P2 = 0,15 - 0,14xP1
Avec P1=0,1 P2 = 0,136, donc 13,6% de chance d'être contrôle le mardi.

De même que pour P2, P3 s'écrit :
P3 = (0,01xP2) + (0,15x(1-P2))
Donc P3 = 0,15 - 0,14xP2
D'ailleurs P(n+1) = 0,15 - 0.14xPn
Comme P2=0,136 P3 = 0,13096, donc 13,096% de chances d'être contrôlé.

Donc quand tu dis que Jean a été contrôlé le mercredi, tout ce qu'on peut te dire c'est qu'il a pas de bol car il avait 13,096 % de chances que ça arrive.

Voilà tout ce qu'on peut dire de ton problème.


Maintenant si on oublie le fait que tu as indiqué que le lundi la probabilité d'être contrôlé est de 0,1, tu aurais pu poser le problème suivant :
"Sachant que le mardi Jean a 50% de chances d'être contrôlé, quelle est la probabilité que Jean ait été contrôlé le lundi".
Auquel cas on t'aurait répondu "impossible car vu que
P2=0,5 et que P2 = 0,15 - 0,14xP1
du coup P1 = (0,15-0.5)x0,14 < 0 ce qui est impossible pour une probabilité"

Du coup, si tu avais posé le problème cohérent suivant :
"Sachant que le mardi, Jean a 7% de chances d'être contrôlé, quelle est la probabilité que Jean ait été contrôlé le lundi".
Auquel cas on t'aurait répondu :
P2=0,07
hors P2 = 0,15 - 0,14xP1
donc P1 = (0,15-0.07)x0,14
donc P1 = 0,0112
donc la probabilité que Jean ait été contrôle le lundi aurait été de 1,9432%

Problème intéressant :Toujours dans l'hypothèse où on ne connait pas la probabilité d'être contrôlé le lundi : est-il possible à Jean d'avoir 15% de chances d'être contrôlé le mercredi ? Si oui, quelle aura été la probabilité d'être contrôle le mardi ? et du coup le lundi ?




Pour italixy : la division finale proposée donne plutôt 11,3% que 12,8% mais sinon OK.

Answer 5

Il s'agit ici de l'équivalent d'un problème de tirage avec remise, où la probabilité conditionnelle est la même que la probabilité non conditionnelle.
"Chacun des jours suivants, la probabilité d'être contrôlé est 0,01 s'il a été contrôlé la veille, et 0,15 s'il n'a pas été contrôlé la veille" ne correspond pas à une situation statistique réelle.
La probabilité pour lundi reste 0.1

Answer 6

Dis-moi, t'as rien trouvé de mieux que Yahoo QR pour faire de la masturbation intellectuelle....

Answer 7

bein oui c'est 0.1, je vois pas où est le problème. C'est probablement l'un de ces faux problèmes qui font réfléchir ceux qui ne savent pas lire....

Answer 8

t con ou quoi ?
tu ecris "lundi, la proba d'etre controle est 0,1"
et tu poses la question "quelle est la proba d'etre controlé lundi".......
je te laisse trouver la solussssssse !!