aiuto numeri complessi?

Question

qualcuno mi spieghe almeno i primi passaggi per risolvere queste equazione in incognite complesse

1) Z( (1+2i)^2 + 2) = e ^ (1+2i)

il problema è che nella forma esponenziale compare 1 senza la i, che rende in forma trigonometrica l'angolo teta non reale ma complesso.

2) Z^4 + Z^2 + 1 = 0

Answer 1

Ho le traveggole o l'incognita Z sta solo da una parte e moltiplicata per tutto il termine?

Answer 2

Per quanto concerne la (1), ammesso che la traccia sia proprio quella che hai scritto (perchè è strana!), è sufficiente che ti ricordi la nota proprietà delle potenze x^a * x^b = x^(a+b). Facendo così, e^(1+2i) = e * e^(2i). Ma a mio avviso puoi lasciarlo anche com'è espresso nella traccia.

Poi sviluppando il quadrato al primo membro e svolgendo i calcoli, dovrebbe venire

z(-4-4i) = e^(1+2i).

A questo punto, il numero complesso (-4-4i)=-4(1+i) ammette rappresentazione esponenziale -4e^(iPi/4), ove Pi è pi greco. Dunque,

-4ze^(iPi/4)=e^(1+2i)

ossia

z= -(1/4)*e^(1+2i-iPi/4)= -(1/4)*e^(1+i(8-Pi)/4).

(2) Rivedila come equazione di secondo grado in z^2, sicchè, applicando la formula per le radici di un'equazione di secondo grado. Ti verranno fuori due soluzioni complesse e coniugate,

(n.b. Sqrt = radice quadrata)

z^2 = -(1/2) + (Sqrt(3)/2)i

e

z^2 = -(1/2) - (Sqrt(3)/2)i.

Entrambi i numeri complessi hanno modulo unitario e argomento, rispettivamente, Pi/3 e 5Pi/3.

Per ottenere z, ne estrai la radice quadrata utilizzando la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso.

Estraendo la radice del numero complesso e^(iPi/3) vengono fuori e^(i13Pi/6) e e^(i7Pi/6), mentre le radici di e^(i5Pi/3) sono e^(i17Pi/6) e e^(i11Pi/6). Questi quattro valori sono le soluzioni dell'equazione che dovevi risolvere. Se non ti piace la formulazione esponenziale, basta che li converti in forma algebrica con poco sforzo!

Spero di esserti stato utile!!!

Answer 3

Questo tipo di equazioni con i numeri complessi non sono affatto complicate. Naturalmente bisogna sapere un paio di cosette sui numeri complessi:


FORMA POLARE

Ogni numero complesso diverso da 0 si può scrivere come r*e^(it), dove t è un numero reale ed è una determinazione del numero (ci sono infinite determinazioni, due determinazioni diverse differiscono per un multiplo intero di due pigreco).
Una volta scritto un numero complesso in questa forma, tieni presente che per l'esponziale complesso valgono le stesse regole che ci sono per l'esponenziale reale (per il prodotto, per l'inverso, ...).
Per scrivere un numero complesso in forma polare ti basta saper calcolare il modulo di un numero complesso e una sua determinazione.


1) Nel tuo caso (1+2i)^2+2=1-4+4i+2=-1+4i ha modulo ((-1)^2+(4)^2)^(1/2)=(17)^(1/2). Per l'argomento o determinazione: detta x la parte reale e y quella immaginaria l'argomento t vale arctg(y/x) (arcotangente di y su x). Quindi hai trovato -1+4i=r*e^(it). Ora Z(r*e^(it)) = e^(1+2i) e quindi Z = e^(1+2i)*r^(-1)*e^(-it) = r^(-1)*e^(1+2i-it)


RADICI DI NUMERI COMPLESSI

La formula di De Moivre permette di trovare la radice n-sima di qualsiasi numero complesso non zero (ogni numero non zero ha n radici n-sime). Scritto il numero in forma polare r*e^(it), le sue radici n-sime sono r^(1/n)*e^(i(t+2k*pi)/n), dove k è un numero intero compreso tra 1 ed n. Si verifica immediatamente che elevando alla potenza n-sima questi numeri in forma polare si ottiene r*e^(it).


2) Per quest'altra equazione, nota che si tratta di un equazione biquadratica a radici complesse. Poni W=Z^2 e ottieni W^2+W+1=0, quindi applicando la solita formula per la risoluzione di equazioni del secondo grado W = (-1 +- (1-4)^(1/2))/2 = (-1+-i(3)^(1/2))/2. Ora abbiamo trovato due valori di W, cerchiamo i valori di Z. Alla fine avremo un totale di quattro soluzioni perché per il teorema fondamentale dell'algebra, ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n ha n soluzioni contate con la molteplicità algebrica (possono esserci soluzioni coincidenti). Chiamiamo W1 e W2 i due valori di W trovati, ora bisogna risolvere le due equazioni Z^2=W1 e Z^2=W2 e trovare tutte le soluzioni. Puoi trovare le radici usando la formula di De Moivre, notando magari che una volta trovata una radice, l'altra si ottiene cambiando il segno (analogmente al caso reale).

Answer 4

mi dispiace ma questa è una delle poche cose che non ho mai capito di matematica, anche perchè non ne ho mai capito l'applicazione pratica...spiacente...non mi ricordo una mazza di ste cose.....