Wahrscheinlichkeit: => Ziegenproblem. Sollte man bei seiner Entscheidung bleiben, oder das andere Tor wählen?

Question

Das Ziegenproblem. Es gibt 3 Tore. Hinter 2en befinden sich Ziegen, hinter dem 3ten ein Auto. Man wählt ein Tor, dass aber ersteinmal verschlossen bleibt. Ein Ziegen-Tor wird geöffnet. Nun kann man entscheiden, ob man bei seiner Wahl bleiben möchte, oder das andere Tor wählt. Ziel ist es, das Auto-Tor zu wählen. Wie kann man nun seine Gewinnchancen maximieren?
Ich hab mir schon Lösungen aus dem Internet geholt, aber es treten leider Verständnisprobleme auf. Ich wäre sehr froh, wenn mir das jemand nochmal erklären könnte.

Answer 1

@Hauke43 und SchwarzeKatz
Anscheinend gibt es auf Wikipedia widersprüchliche Erklärungen zu diesem Problem. Könnt ihr bitte die entsprechenden Links angeben? Intuitiv würde ich sagen die Chancen stehen 50 zu 50, genauso wie für jemanden, der ein Tor auszuwählen hat, nachdem ein Ziegen-Tor schon offen ist.
[20Minuten später] Moment, ich glaub ich habs:
Es gibt 8 Möglichkeiten :

gewählt / offen / tausch / P
========================
A / Z1/ j / 0
A / Z1/ n / 1/12
A / Z2/ j / 0
A / Z2/ n / 1/12
Z1 / Z2 / j / 1/6
Z1 / Z2 / n / 0
Z2 / Z1 / j / 1/6
Z2 / Z1 / n / 0

P ist die jeweilige Wahrscheinlichkeit, dass man das Auto bekommt und wird so berechnet:
Tor-Auswahls-Wahrscheinlichkeit (1/3)
mal
Tor-Öffnungs-Wahrscheinlichkeit (1/2 oder 1)
mal
Tausch-Wahrscheinlichkeit (1/2)

Es gibt 2 Möglichkeiten, mit Tausch (j) zum Auto zu kommen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/3 (1/6 + 1/6).
Es gibt 2 Möglichkeiten, ohne Tausch (n) zum Auto zu kommen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6 (1/12 + 1/12).

Bin mir nicht sicher, ob meine Beweisführung stimmt, aber es sieht wirklich so aus, dass man tauschen sollte, um seine Gewinnchancen zu maximieren.
Begründung: wenn ein Ziegen-Tor ausgewählt wird, MUSS das andere Ziegen-Tor geöffnet werden. Wird hingegen das Auto-Tor ausgewählt, gibt es zwei mögliche Ziegen-Tore.

Nachtrag: sdfsdf hat vollkommen recht. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit einem Tausch das Auto gewinnt ist die gleiche wie für einen Spieler der erst hinzukommt, nachdem ein Ziegentor bereits geöffnet wurde. Das offene Tor ist irrelevant, die Tauschmöglichkeit ist ein neues Spiel mit 50% Gewinnchance.

Answer 2

es ist besser zu tauschen, denn indem ein ziegen-tor geöffnet wird, erhöht sich die wahrscheinlichkeit, dass hinter dem anderen (was man nicht gewählt hat) das auto ist, auch wenn man geneigt ist zu glauben, dass die chance 50:50 ist. da haben sich so manche mathematiker blamiert als das zum ersten mal aufkam. guck am besten mal bei wikipedia, da ist ein exzellenter artikel zu diesem thema

hilfreich zum verständnis ist es, einen baum zu zeichnen. beim ersten wählen hast du zu 1/3 das auto und zu 2/3 eine ziege. wenn nun ein ziege offenbart wird, ist deine chance, das du richtig liegst, natürlich immer noch ein drittel. die wahrscheinlichkeit, dass in dem aufgedeckten tor das auto ist, beträgt 0. also hat das dritte tor die chance 2/3.

so, ich möchte noch einmal auf die anderen antworten reagieren:

dass der moderator weiß wo das auto ist ist eine bedingung des ziegenproblems, so wie es von marilyn vos savant formuliert wurde. auch hier steht: "ein ziegen-tor wird geöffnet". der moderator öffnet also immer ein ziegentor, egal was man gewählt hat.

man denkt: es ist doch das gleiche, wie wenn der moderator schon vorher eine ziege aufdeckt und ich mir dann ein tor aussuche. in diesem fall wäre die wahrscheinlichkeit = 1/2. doch es ist nicht das gleiche. ich versuche das nochmal anders zu erklären. es gibt zwei spieler: torsten wechselt immer, anna nie.

torsten wählt ein tor. es gibt zwei möglichkeiten:

1.: er steht auf dem gewinn. dies ist zu 1/3 der fall. der moderator kann sich nun das tor aussuchen, das er ihm zeigt: beides sind nieten. da torsten immer wechselt, erwischt er auf jeden fall eine davon (p=1) und verliert. wahrscheinlichkeit für diesen weg: P= 1/3 * 1 = 1/3

2.: torsten wählt eine niete. dies ist zu 2/3 der fall. es bleibt eine ziege und das auto übrig, der moderator öffnet das tor mit der ziege. in dem anderen tor ist der gewinn. da torsten immer wechselt, erwischt er den gewinn zu 100% (p=1). wahrscheinlichkeit für diesen weg: P= 2/3 * 1 = 2/3

mit der wahrscheinlichkeit von 2/3 gewinnt torsten das spiel

anna kann sich jeder selber denken. sie gewinnt in 1/3 der fälle.

noch deutlicher wird es mit diesem beispiel. angenommen man hat eine million tore. eins davon wählt man. zu p=1/1mio hat man den gewinn. der moderator deckt dann so viele nieten auf, bis nur noch das gewählte und ein weiteres tor übrig ist. wer würde behaupten, dass die wahrscheinlichkeit auf dem gewinn zu stehen 1/2 ist? dies wäre dann der fall, wenn der moderator die ziegentore nach dem zufallsprinzip geöffnet hätte. so bleibt die wahrscheinlichkeit bei 1/1mio. und wer jetzt sagt, das ist nicht das gleiche, irrt sich, es ist das gleiche prinzip, nur ist der effekt entsprechend größer als bei 3 toren.

wer es immer noch nicht glaubt, sollte sich zwei schwarze karten und eine rote nehmen und mit einem partner das spiel spielen und statistisch auswerten.

ich habe es auch erst nicht begriffen, das geht fast jedem so. aber es ist ein beispiel dafür, wie faszinierend mathematik sein kann.

Answer 3

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Answer 4

Natürlich hat Hauke 43 Recht!!!!
Man erhöht seine Chancen ganz klar, wenn man tauscht!
Was bei der ganzen Diskussion nicht beachtet wurde, ist, dass im Moment des Öffnens einer Tür durch den Spielleiter ein Eingriff von außen stattfindet durch eine Person nämlich, die den tatsächlichen Sachverhalt kennt, d.h. die weiß, wo das Auto ist. Damit hat man nicht mehr dasselbe Zufallsexperiment wie vorher.
Der Spielleiter öffnet ja in zwei von drei Fällen (nämlich immer dann, wenn der Kandidat auf eine Ziege getippt hatte) nicht willkürlich eine Tür, sondern genau die Tür, hinter der die andere Ziege ist! Das heißt, in diesen beiden Fällen, wohlgemerkt in zwei von drei Fällen gewinnt der Kandidat, wenn er wechselt. Und nur in dem einen (von drei) Fällen, in dem der Kandidat auf das Auto getippt hatte, kann der Spielleiter irgendeine Tür öffnen und nur in genau diesem Fall verliert der Kandidat, wenn er wechselt. Wenn ich in zwei von drei Fällen beim Wechseln gewinne und nur in einem von drei Fällen verliere, ist doch klar, dass ich wechsle!
Entscheidend bei dem Problem ist für mich also die Tatsache, dass der Spielleiter durch das Öffnen einer Tür sozusagen automatisch gezwungen werden kann, "Insiderwissen" preiszugeben.

Answer 5

@HAUKE
was du da schreibst find ich absolut falsch.
"wenn nun ein ziege offenbart wird, ist deine chance, das du richtig liegst, natürlich immer noch ein drittel."
Wenn nun eine Ziege offenbart ist, kommt die BEDINGTE Wahrscheinlichkeit ins Spiel.
Unter der Bedingung das eine Ziege offenbart ist, ist die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Tor das Auto zu erhalten natürlich 1/2 völlig unabhängig davon ob er das Tor noch einmal wechselt. (wenn man davon ausgeht das das Tor zufällig gewählt ist MUSS jedes Tor die gleichen Chancen haben).
Ich skiziere Mal mein Model
Jeder neue Ast bedeutet eine neue Ziehung
A = Man zieht das Auto
B= Man zieht eine Ziege
in Klammern die Wahrscheinlichkeit


A (1/3)

B(2/3)------ A(1/2)
B (1/2)--------- A(1)
B(0)

Jeder möglich Pfad multipliziert sich gesamt zu 1/3.


Es ist egal ob er tauscht oder nicht .
Alles andere halte ich für Schwachsinn

Answer 6

Aber es ist doch nur eingeschränkt besser zu tauschen, und zwar nur dann, wenn eben diese reelle Situation vorliegt: Wir haben einen Moderator, der weiß, hinter welcher Tür das Auto ist. Wenn es wirklich reiner Zufall ist, niemand weiß, hinter welcher Tür sich was befindet, ist es eine 50:50 - Chance!
Sorry, aber das ist kein mathematisches Problem, das ist ein künstliches Konstrukt.

EDIT: Leute, Leute, wenn Ihr logischen Gedankengängen nicht traut, seht auf Wikipedia nach, sogar da steht's. Wer's braucht...