Demostrar que el potencial eléctrico dentro de una esfera sólida cargada uniformemente, de radio R?

Question

Demostrar que el potencial eléctrico dentro de una esfera sólida cargada uniformemente, de radio R y carga total Q (la cual se distribuye en todo el volumen) está dado por
V(r) = (kQ/2R)(3-(r^2/R^2)) . Recordar que en este caso el campo eléctrico dentro de la esfera viene dado por Er = k(Q/R^3)r . ¿Cuál es el potencial fuera de la esfera?

Answer 1

Bueno, primero calcularemos los campos electricos fuera y dentro de la esfera, para luego calcular el potencial fuera de la esfera y por ultimo el potencial dentro de la esfera.

Para calcular el campo electrico fuera de la esfera :

r >= R

Sea un dq = D*4pi*r^2dr

D = densidad volumetrica de carga.

Usando la Ley de Gauss, calcularemos el campo electrico fuera de la esfera.

E.integral(ds) = Q / Eo

Eo = permeabilidad electrica

E.4pir^2 = Q / Eo

E = Q / 4piEor^2

Sea k = 1 / 4piEo >>> E = KQ / r^2

Ahora, calculando el potencial fuera de la esfera :

Usando el campo electrico fuera de la esfera.

V1 = - integral(KQ / r^2)dr

V1 = KQ / r >>>> Potencial fuera de la esfera, tomando potencial en el infinito = 0 Volts

Ahora, calculando el campo electrico dentro de la esfera :

Para r < R

dq = D*4pir^2*dr

q = D*4/3*pi*r^3

E.4pir^2 = D*4/3*pi*r^2 / Eo

E' = D*r / 3Eo

D = Q / 4/3piR^3

Entonces el campo E' = K*(Q / R^3)*r

Ahora, recien podremos calcular el potencial dentro de la esfera.

Diferencia de potencial = -integral((K*(Q / R^3)*r))dr

la integral varia de R a r, es decir de afuera hacia adentro.

Diferencia de potencial = Potencial dentro de la esfera - potencial en la superficie de la esfera

Potencial en la superficie = V1 = KQ / R

Vdentro = KQ / R - integral((K*(Q / R^3)*r))dr

Vdentro = KQ / R - KQ / R^3*(r^2/2 - R^2/2)

Vdentro = KQ / R*( 1 - 1/R^2(r^2/2 - R^2/2)

Vdentro = KQ / R*( 1 - r^2 / 2R^2 +1/2)

Vdentro = KQ / 2R*(2 - r^2 / 2R^2 + 1)

Vdentro(r) = KQ / 2R*( 3 - r^2/R^2)

Ese es todo el procedimiento