Cómo se demuestra la Ley Aditiva de Probabilidad para dos conjuntos?

Question

Es decir la probabilidad de la unión de eventos

Answer 1

Si los conjuntos A y B son disjuntos (es decir su intersección es el conjunto nulo) la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades: P(A U B) = P(A) + P(B)
Este es uno de los axiomas de probabilidad y por tanto no se demuestra, se toma como cierto.
Si lo que querés es demostrar el caso general donde A y B no son disjuntos ( P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A int B) ), lo que tenés que hacer es expresar a estos conjuntos como de esta manera (ayudaría un diagrama de Venn):
A U B = A U (B int A^c) (int = intersección, ^c = complemento)
B = (B int A) U (B int A^c)

Es fácil ver que A y (B int A^c) son disjuntos así como también lo son (B int A) con (B int A^c)

Por lo tanto, por el axioma mencionado antes:

P(A U B) = P(A) + P(B int A^c)
P(B) = P(B int A) + P(B int A^c)

Restando ambas igualdades:

P(A U B) - P(B) = P(A) - P(B int A)

y luego

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(B int A)