Man munkelt, man könne aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen. Wie funktioniert das??

Question

;-)

Answer 1

Es gibt ja nicht nur den reelen Zahlenbereich, sondern auch den komplexen. Dort gibt es dann Zahlen mit Realteil und Imaginärteil, wobei der Imaginärteil mit i oder j dargestellt wird.
Dabei gilt, dass i² = -1
Also ist die Wurzel aus -1 = i
Für genauere Erklärungen empfehle ich ein Studium der Mathematik oder der Elektrotechnik, das ich genießen durfte
:-)

@oismart: Die dritte Wurzel aus -81 ist ca. -4,325...

Answer 2

Menschen haben imer wieder neue Zahlen erfunden, wenn Rechenoperationen sich mit den vorhandenen Zahlen nicht mehr ausführen ließen. Die negativen Zahlen gibt es, weil man in den natürlichen Zahlen nicht immer subtrahieren konnte. Brüche gibt es, weil man in den ganzen Zahlen nicht immer dividieren konnte. Reelle Zahlen gibt es, weil man sonst z.B. nicht die Wurzel aus 2 ziehen könnte. So hat man z..B. als Lösung der Gleichung x hoch 2 = -1 die imaginären Zahlen erfunden. Mit imaginären Zahlen, die allgemein nicht so bekannt sind, kann man Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Wurzel aus -1 nennt man i.
Wurzel aus -4 ist 2i.
Wenn man die reellen und imaginären Zahlen kombiniert, entstehen die komplexen Zahlen.

Answer 3

das geht.


und war nach der formel i*i=-1

also ist die zweite wurfel aus -4: -2i

Answer 4

Indem du √-1 als Faktor Rausziehst. Das ist dann der imaginäranteil.
Bsp:
√-9 = √-1 * √9 = √-1 * 3 oder 3i da √-1 auch als i bezeichnet wird.
Mit diesem Faktor lässt sich dann beliebig weiter rechnen.
Durch diesen Faktor i ensteht dann vor allem ein zweidimensionaler linear unabhänigen Zahlenraum. Die sogenannten Komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl hat dann einen real und einen imaginärteil.
i² wiederum ist dann -.
Für den Zahlenraum sind alle Rechenoperationen definiert die auch für den Raum der reellen Zahlen definiert sind.

k1 + k2 = (a1+b1i) + (a2 + b2i) = (a1+a2) + (b1 + b2)i

k1 - k2 = (a1+b1i) - (a2 + b2i) = (a1-a2) + (b1 - b2)i

k1 * k2 wird ausmultipliziert
k1 * k2 = (a1+b1i) * (a2 + b2i)
k1 * k2 = (a1a2) + (b1ia2) + (b2ia1) + b1i*b2i
k1 * k2 = (a1a2) + (b1ia2) + (b2ia1) + b1*b2 i²
k1 * k2 = (a1a2) + (b1a2+b2a1)i - b1*b2
k1 * k2 = (a1a2 - b1*b2) + (b1a2+b2a1)i

K1 / K2 = (a1+b1i) / (a2 + b2i)
K1 / K2 = (a1+b1i) * (a2 - b2i)/ ((a2 + b2i) *(a2 + b2i))
Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

Da Komplexe Zahlen im |R² abgebildet werden gibt es auch die zweite Moglichkeit diese über Radius und Winke abzubilden. Das heisst sie werden in einem Koordinatensystem in dem der eine Teil den reellen und der andere den imaginären Teil kennzeichnet Polarkoordinaten
K = a + bi = |z| ( cos(φ)+i·sin(φ)
Wobei φ der Winkel zwischen der x-Achse und der Verbindungslinie zum Punkt (a, bi) ist. Was damit gemient ist siehst du sofoert wenn du dir die Grafik unter Wikipedia ansiehst.

Die Dritte Möglichkeit der Darstellung dergibt sich aus
z := a + i ·b = |z| · ( cos(φ) + i · sin(φ) ) = |z| · eφ · i
Das ist möglich weil:
cos(φ) + isin(φ) = eφ i ist

Answer 5

also jede Wurzel kann faktorisiert werden.
( im folgenden sqrt = Wurzelfunktion)

sqrt(12) = sqrt(4*3) = sqrt(4)*sqrt(3)
da aus einer negativen Zahl keine Wurzen gezoen werden kann macht man sie durch das faktorisieren einfach zur positiven Zahl :

sqrt(-9) = sqrt(-1 * 9) = sqrt(-1) * sqrt(9) = sqrt(-1) * 3

Somit wäre fast die Wurzel gezogen nur was macht man mit dem sqrt(-1) nunja das bezeichnet man einfach als i als den imaginäranteil der Zahl.
sqrt(-1) * 3 = 3*i = 3i

Somit ist das Ergebnis aus sqrt(-9) = 3i

und (3i)^2=-9 (^bedeutet hoch)

Dies ist ein kompliziertes Hilfskonstrukt das soviel ich weis erst ab der Hochschule gelehrt wird. Darunter gilt es gibt keine Wurzel von negativen Zahlen.
Was ja letztlich auch gilt solange man im Bereich der Reelen Zahlen Rechnet, denn der Imaginäranteil (hier i) ist das Kennzeichen für Komplexe Zahlen.

Answer 6

Ja kann man - ohne Einschränkung. Der dazu gehörende Zahlenbereich sind die komplexen Zahlen. Da das bei uns bis zum Abi nicht behandelt wird, lernt man das an der Uni, wenn man was Ingenieurmäßiges studiert. Da aber damit inzwischen Taschenrechner, die man in der Schule benutzt, umgehen können, würde es da schon mal Zeit ...
Wurzeln aus negativen Zahlen kann man mit Einschränkungen auch im Reellen ziehen - und das macht man dann in der Schule.
Und natürlich sind diese Zahlen, genauso wenig wie die negativen Zahlen, die Brüche und die einfachen Wurzeln wie Wurzel aus Zwei nicht erfunden. Sie gehören zu den Begriffen der Mathe, mit denen bekanntlich die Welt erfolgreich beschrieben wird und mit denen man den Menschen gerecht wird, wenn die davon betroffen sind (man wird Menschen gerecht indem man ihre Bezüge fein säuberlich ausrechnet und nicht indem man willkürlich und frei Schnauze was zuteilt).

Aber ein Beispiel dazu, das dir begegnen kann:
Die Parabel zu
f(x) = x^3 +8
hat eine Nullstelle
x^3 + 8 = 0
und x^3 = -8 (links und rechts dritte Wurzel ziehen, also dritte Wurzel aus -8)
bei -2.
Denn (-2)^3 ist eben -8.
Und die Antwort heißt nicht: kann ich nicht ausrechnen.

Answer 7

Man kann die Quadratwurzel von negativen Zahlen nicht berechnen.

Allerdings kann man sich mit der imaginären Einheit i (manchmal auch mit j bezeichnet) aus der Klemme helfen.

Dazu wird die imaginäre Einheit i als eine Zahl definiert, deren Quadrat -1 ist.
Jede Quadratwurzel einer negativen Zahl kann dann umgeformt werden, beispielsweise

SQRT(-4) = SQRT(4 * (-1)) ) = SQRT(4) * SQRT(-1)
= 2 * i

So kann man dann zwar weiter rechnen, doch hat man immer noch keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen.

Answer 8

Ja, es geht, auch wenn viele (aufgrund des Schulwissens, an das sie sich RICHTIG erinnern) behaupten, dass es nicht ginge.

Im Bereich der komplexen Zahlen ist das, wie mehrfach richtig beschrieben, durchaus möglich und auch SINNVOLL.

Answer 9

Interessant!

Und wer von euch da oben hat nun recht?

Answer 10

Das geht eigentlich nicht, wie man leicht überlegt.
Man hat nun einfach gesagt: tun wir mal so, als ob es doch ginge. Was müsste dann gelten:
Dann müsste Wurzel(-1) * Wurzel(-1) = -1 sein.
Nennen wir Wurzel( -1 ) mal i .
Dann hätte man i * i = -1.

Dieses Vorgehen hat nun zu den tollsten Ergebnissen geführt, die man so nicht so leicht gefunden hätte. Deshalb haben sich komplexe Zahlen durchgesetzt.