hallar el volumen del solido de revolucion?

Question

hallar el volumen del solido de revolucion formado al girar la region limitada por las graficas de "y=X²" y "Y=X¹/²" el cual gira alrededor del eje x, le agradecere al primero que me responda con 10 puntos es solo para comprobar respuestas.

Answer 1

Primero tienes que hallar los puntos en los que se intersectan ambas curvas, estos puntos se los encuentra si y=y, o sea, x^2=x^(1/2) entonces:
x^4=x
x^4-x=0
x(X^3-1)=0
entonces se intersectan en x=0 y x=1, estos son los límites.
Luego, puedes hallar el volúmen por integración simple, pero resulta más fácil usar el teorema de Pappus, que dice:
"En toda figura plana existe un punto llamado centroide en donde se dice se encuentra concentrada toda el área, entonces, el volúmen de revolución de dicha figura plana alrededor de un eje cualquiera es igual a una longitud de circunferencia recorrida por dicho centroide alrededor del eje multiplicado por el área de la figura plana". De forma matemática, el centoride de área se lo encuentra como:
C*A=int[x*dA,a,b], donde C es el centoide, A es el área de la figura plana (int[dA,a,b]). Todo centoride debe tomarse en cuenta con respecto a un eje, en este caso lo tomaremos con respecto al eje x, asi que dA=f(y), resultando que:
C*int[(y^(1/2)-y^2),0,1]=int[y(y^(1/2)-y^2),0,1], luego encuentras C, esta distancia es desde el centroide hasta el eje x, y en este caso, como el eje de revolución es el mismo eje x, entonces el radio de la circunferencia para el centroide es C, así el volúmen de revolución es:
V=2*pi*C*int[(y^(1/2)-y^2),0,1], el resto creo que lo puedes hacer tu.
Si quieres más información, busca sobre centroides de área o sobre el teorema de pappus.
Espero haberte ayudado.

Answer 2

Volumen de un cuerpo de revolucion

Sea el arco AB correspondiente a una funcion y=f(x)

V = pi * integral entre AB de (f(x))^2 dx



1. V= pi* (x^5)/5
2. V= pi* (x^2)/2
2. V=

Answer 3

faltan los límites