La suite du chiffre 1!!?

Question

Clovis aime se promener parmi les entiers naturels.Chaque jour,il commence avec un nombre naturel de son choix,le plus grand possible. Puis,durant la journée,il passe de nombre en nombre selon la règle suivante.En supposant que sa suite en est au nombre n:

1-Si n est divisible par 3 sans reste,alors le nombre suivant sera n/3.

2-Si le reste de la division de n par 3 est 1,alors le nombre suivant est 2n+1.

3-Si le reste de la division de n par 3 est 2, alors le nombre suivant est 2n-1.

4-Si n=1 la suite s'arrête.

Pourquoi,avec ces règle ca se terminera toujours par 1?
Sinon prouvez moi qu'il y a un nombre qui a la fin sera pas 1...

crime faut pas être épais ctune question niveau secondaire 3.

pour les sérieux =)

Answer 1

je suis pas tout car tu dis qu'il n'y a pas de reste mais après tu parle de reste

Answer 2

1) si n est divisible par 3, cela signifie que n=3m, le nombre suivant sera donc m.

2) si le reste de la division est 1, alors n=3m+1, le nombre suivant est 2n+1, soit 6m+2+1, qui correspond au cas 1)

3) si le reste est 2, alors n = 3m + 2, le nombre suivant est 2n-1, soit 6m+3, qui correspond au cas 1).

Donc on retombe toujours sur le cas n°1, et on divise par 3 successivement.

On finit donc par aboutir à 3, 2, ou 1.

A) Si on arrive à 3, c'est le cas n°1, on divise par 3 et on obtient...1

B) Si on arrive à 2, c'est le cas n°3, le nombre suivant est 2n-1, donc 3, puis 1 (voir A))

C) Si on arrive à 1, c'est le cas n°2, le nombre suivant est 2n+1 = 3, puis 1 (voir A))

Et voilà le travail !

Answer 3

seul 1 reste a la fin

Answer 4

L'idée ici est de remarquer que si l'on effectue les étapes 2 ou 3 alors, à l'étape suivante, on effectue l'étape 1.

En effet :
"2-Si le reste de la division de n par 3 est 1,alors le nombre suivant est 2n+1."
Dans ces conditions, n=3k+1. Donc : 2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1).
Le nombre suivant est donc 6k+3. Ce qui est plus important, c'est que le nombre qui suit est 2k+1 qui est strictement plus petit que n (n <>1).

De même :
"3-Si le reste de la division de n par 3 est 2, alors le nombre suivant est 2n-1."
Dans ces conditions, n=3k-1 et le nombre suivant est 6k-3. Le nombre qui suit est 2k-1 qui est strictement plus petit que n.

Si on regarde la suite en oubliant les termes correspond à l'application des règles 2 et 3, on observe une suite décroissante d'entiers positifs. Elle finit donc par être constante ou par s'arrêter. Ici, la seule constante possible est 1 qui est la valeur correspondant à l'arrêt de la suite. C'est donc que la suite finit par s'arrêter par 1.

Answer 5

Si tu as un BASIC ou GWBASIC ou BASICA tournant sous DOS (ça marche toujours avec XP en ouvrant une fenêtre DOS) tu peux toujours t'amuser à essayer le petit programme SYR.BAS ci-dessous en lui proposant des entiers au hasard et tester combien dure le calcul (combien de nombres il doit parcourir avant d'arriver à 1). La solution est presque toujours instantanée, même si le parcours est "long". Vu que les nombres que tu peux entrer n'auront jamais des milliers de chiffres, tu n'auras pas non plus de parcours à milliers d'étapes. SYR affiche tous ces nombres (ou étapes) à la file.
J'avais écrit ces lignes en 1990 ayant lu dans le book fameux de Douglas Hofstadter cette curiosité. Il appelle "nombre syracusien" un nombre qui atteint 1, et ton théorème revient à dire que tout entier est syracusien. C'est en fait le contraire qui serait étonnant. Il est déjà étonnant qu'un petit entier tel 15 donne lieu à 17 pas. Cela me fait songer à ces nombres premiers p qui lorsqu'on les prend comme diviseurs donnent lieu à un maximum de (ici p-1) décimales (si l'on calcule en base 10 - autrement ça doit s'appeler d'un nom différent mais la loi demeure.) Ainsi 1/7=0,142857 142857 142857 142857 ... Six décimales, sept moins une, pas plus. Quand le système d'écriture (ici décimal) se met à bafouiller de la sorte, ça signale un maximum d'extranéité entre lui et ce qu'on lui donne à exprimer : 7 est TRÈS étranger à 10.

Je te conseille vraiment de lire Hofstadter, il ne donne pas de démonstration rigoureuse mais intuitivement c'est un problème rationnel, donc finitiste.


20 COLOR 11,1:CLS:COLOR 14,4:PRINT " ENCHAINEMENTS SYRACUSIENS ":COLOR 11,1
30 'Cf. "Gödel Escher Bach" page 450.
60 DEFDBL S
70 PRINT : INPUT "Valeur de depart = ";S
73 FOR I = S TO S+4
75 PRINT " Valeur de depart = ";I
80 IF S=0 THEN 190
90 IF S=1 THEN 190
100 IF S/2=INT(S/2) THEN 120
110 IF S/2>INT(S/2) THEN 150
120 PRINT S/2; :S=S/2
140 GOTO 90
150 PRINT 3*S+1;
160 S=S*3+1
170 GOTO 90
180 NEXT I
190 COLOR 0,7
200 PRINT : INPUT " Autre valeur de depart";S
210 IF S<>0 THEN 80

Answer 6

Si le reste est 0, alors le nombre suivant est n/3 donc strictement inférieur au nombre actuel.

Si le reste est 1, n = 3k + 1, alors le nombre suivant est 2n + 1 = 6k + 3, est divisible par 3 et le nombre suivant est 2k + 1, strictement inférieur à n sauf si et seulement si n = 1 (correspond à k = 0)

Si le reste est 2, = 3k + 2, alors le nombre suivant est 2n - 1 = 6k + 3, est divisible par 3 et le nombre suivant est 2k + 1, strictement inférieur à n et ce quel que soit n.

Donc : si n n'est pas déjà égal à 1 on est sûr de pouvoir le faire décroître strictement en un nombre fini d'étapes.

n décroît donc strictement jusqu'à atteindre la valeur 1.

Answer 7

1/ Dans le cas 1, un = k*3, k<=1.
On fait n/3 donc u(n+1) = (k-1)*3
u(n+1) appartient toujours au cas 1.
Récursivement, on arrive à un moment où u(n+j) = (k-j)*3 avec k=j.
C'est à dire u(n+j) = 3.
On fait une dernière récursion et on trouve u(n+j+1) = 3/3 = 1.
La suite s'arrête là.

2,3/ Pour les entiers tels que un = k*3 + 1 (cas 2), le nombre suivant est u(n+1) = 6*k + 3 = 3*(2*k + 1).
De même, pour un = 3*k + 2 (cas 3), u(n+1) = 6*k + 3 = 3*(2*k + 1).
On retombe dans le cas 1 et on trouve u(n+2) = 2*k + 1.
Quel que soit le cas dans lequel u(n+2) se trouve (1, 2 ou 3), on va toujours retomber sur un cas de type 1 jusqu'à ce qu'on trouve 1.

Answer 8

Parce que si le reste de la division de n par 3 est 1, alors 2n+1 est divisible par 3
Et si le reste de la division de n par 3 est 2, alors à nouveau 2n-1 est divisible par 3. Et comme (2n+1)/ 3 et (2n-1)/3 sont inférieurs à n, (sauf pour n=1), la suite diminuera sans arrêt. Donc forcement a un moment n vaudra 1, 2 ou 3.
Si n=1, la suite s'arrete
Si n=2, la suite vaut 2,3,1 et ca s'arrete
Si n=3, la suite vaut 3,1 et ca s'arrete
Et ca se finira toujours sur 1.

Answer 9

parce que si
n mod 3 = 1 alors 2n+1 mod 3 = 0
n mod 3 = 2 alors 2n-1 mod 3 = 0

Answer 10

Euhh..., tu peux répéter la question ?

Answer 11

J'ai pas tout compris à l'enigme mais je crois que le chiffre est 0.