determinare il carattere della serie????

Question

come si fa e soprattutto cosa vuol dire determinare il carattere della serie (SM = simbolo sommatoria p = pigreco)

infinito
SM (n+1)/ (p^n - n^4)
n=1

Answer 1

significa studiare se la somma della serie è convergente o divergente cioè:
se lim sn = infinito la serie diverge
se lim sn =finito la serie converge
non per tutte le serie puoi studiare il limite della somma (nelle s. telescopiche ad es si)
negli altri casi devi utlizzzare un criterio
es crit del confronto o della radice o del rapp etc dipende da cosa hai fatto
e il criterio in base al quale si sceglie il criterio giusto beh....qui il discorso è lungo e non saprei spiegartelo qui
usa un libro di esercizi svolti ad es collana tecnos (circa 7 euro) perfetto

Answer 2

Studiare il carattere della serie significa essenzialmente capire se essa converge oppure diverge.

Confronta questa serie con la serie per n che va da 1 a più infinito di n/Pi^n, ove Pi è pi greco. Se applichi il criterio del rapporto (in forma asintotica, devi cioè calcolare il lim n --> +infinito di a(n+1)/a(n)) scopri che questa serie è convergente (difatti tale limite vale 1/Pi, dunque è minore di 1 e quindi la serie converge per il criterio del rapporto).

Ora applichiamo il criterio del confronto (sempre in forma asintotica). S se calcoli il lim per n --> infinito del rapporto tra i termini generali delle due serie, ti viene 1: poichè questo risultato è maggiore di 0 e poichè la serie che abbiamo costruito è convergente, puoi concludere che la serie di partenza è anch'essa convergente.

Answer 3

un metodo è quello del rapporto.
Se il lim di a(n+1)/a(n) < 1 la serie converge
in questo caso ad esempio
a(n) = (n+1)/(p^n-n^4)
lim (n a infinito) a(n+1)/a(n) =
lim (n a infinito) (p^n+1 - (n+1)^4)/ (p^n-n^4)
distinguiamo i due casi p<=1 e p>1
se p<=1
la serie è del tipo n/n^4 quindi converge dato che è minorante, in valore assoluto dell'armonica generalizzata di grado 2 (1/n^2)
Se p>1
il termine p^n prevale su n^4 e la serie ha lo stesso carattere di 1/p^n che converge, infatti il criterio del rapporto da
p^n / (p+1)^n che tende a 1/p <1 dato che p>1