qualcuno mi sa spiegare in qualche modo le applicazioni lineari???ve ne sarei molto grato!!?

Question

soprattutto come si fanno a risolvere gli esercizi per esempio questi:
1.
Sia f : R^4 -- R^3 l’applicazione lineare rappresentata (nelle basi canoniche
di R^4 e R^3) dalla matrice

3 1 1 −1
1 1 1 1
0 1 0 0
determinare una base per Ker(f).

2.
Determinare i valori del parametro a per cui l’applicazione lineare
La : R2 ! R3 tale che La(1, 1) = (a,−1, 1) ; La(−1, 1) = (0, a, a)
risulti iniettiva.

3.
Data l’applicazione lineare L : R3 ! R4 definita da
x1
x2
x3


−x1 + 2x3
3x2 − x3
x1 + 2x2
−3x2 + 2x3



e il vettore vj =
j + 1
0
2j
1


determinare una base di Im(L) e i valori di j per cui vj E Im(L).

Answer 1

Ci provo, ma sono cose che ho fatto 10 anni fa!
1)
Se f:E-->F lineare dim(Im(f))+dim(Ker(f))= dim(E)
quindi la dim. del Ker(f) sarà almeno 1!
per trovare il Ker(f) poniamo il sistema
3x1 + x2 + x3 - x4 = 0
x1+x2 + x3 + x4 = 0
x2=0
quindi
3x1+x3-x4=0
x1+x3+x4=0
x2=0
quindi
4x1+2x3=0
x1+x3+x4=0
x2=0
quindi
x3= -2x1
x1 - 2x1 +x4=0
x2=0
quindi
x3=-2x1
x4=x1
x2=0
ossia sono tutti i vettori del tipo (x,0,-2x,x)
ossia è il sottospazio generato da (1,0,-2,1) e quindi ha dimensione 1

2)
Dato che (1,1),(-1,1) sono linearmente indipendenti, sono una base di R^2.
Quindi la loro immagine è un sist. di generatori per l'immagine.
La sarà iniettiva se i due vettori immagine sono l.i. ossia se
(a,-1,1) e (0,a,a) sono l.i.
ossia se una loro combinazione lineare non banale può essere nulla solo se e solo se i coeff. sono nulli:
x(a,-1,1) + y(0,a,a) = (0,0,0)
sse
ax+y=0
-x+ay=0
ax+ay=0

distinguiamo due casi: a=0 e a <> 0
se a=0 uno dei due vettori diviene il vettore nullo quindi i due vettori non possono essere l.i.
Se a<>0 si ha:
y=-ax
ay=x
ax+ay=0
ossia
y=-ax
-a^2x=x
ax-a^2x=0
ossia x=y=0
ossia in questo caso l'unica combinaz. di (a,-1,1) e (0,a,a) è quella a coeff. nulli
Quindi affinché La sia iniettiva deve risultare a<>0


3)
L ha rapp. canonica:
-1 0 2
0 3 -1
1 2 0
0 -3 2

poiché L lineare, la proiezione della base canonica di R^3 è base per l'immagine di L
Quindi dobbiamo trovare una base di
<(-1,0,1,0), (0,3,2,-3), (2,-1,0,2)>
(-1,0,1,0), (0,3,2,-3), (2,-1,0,2) possono essere una base se non sono linearmente dipendenti.
poniamo allora a 0 la generica c. lineare dei 3:

a) −x1 + 2x3=0
b)3x2 − x3=0
c) x1 + 2x2=0
d)−3x2 + 2x3=0
se troviamo una c. non nulla sono linearmente dipendenti.
svolgiamo:
((a+c)/2) x2+x3=0
x3=3x2
x1=-2x2
x3= -3/2 x2
ossia
4x2=0
x3=3x2
x1=-2x2
x3=-3/2 x2
ossia
x1=x2=x3=0
quindi i 3 vettori <(-1,0,1,0), (0,3,2,-3), (2,-1,0,2)>
sono l.i. poiché ogni loro c.lineare non banale è non nulla
e quindi sono una base di Im(L)

per vedere se (j+1,0,2j,1) appartiene all'immagine di L basta provare ad esprimerlo come combinazione lineare dei vettori trovati e vedere se il sistema ammette soluzione:
−x1 + 2x3 = j
3x2 − x3 = 0
x1 + 2x2 = 2j
−3x2 + 2x3 = 1
ossia
2x2+2x3= 3j
x3=3x2
x1+2x2=2j
2x3=3x2+1
quindi
2x2+2=3j
x3=3x2
x1+2x2=2j
x3=1
quindi
2/3+2=3j
x2=1/3
x1=2(j-x2)
x3=1
quindi
j=8/9
x2=1/3
x1=2(8/9-1/3) = 10/9
x3=1

ossia (8/9+1,0,16/9,1) è l'immagine di
(10/9, 1/3, 1)
quindi j=8/9

Answer 2

Lasciala perdere. E' stata cattiva, nel vero senso della parola, doveva starti accanto e invece ti ha lasciato perchè non si accontentava di un prototipo? Hai bisogno di altro tu, credi a me, non hai perso niente...

Answer 3

Hai detto niente!
Studia, va'.

Answer 4

ti posso mandare un file