Problema con molte incognite...?

Question

Ho questo problema (davvero, non è un esercizio, mi serve nella vita vera, è roba di lavoro!!)
RIguarda come ricavare il valore iniziale di un bene dopo che sono stati applicati degli ammortamenti su un valore dato dal bene + alcuni accessori che poi sono stati scaricati. Ve lo presento dal punto di vista algebrico cosi che anche matematici "puri" mi possano aiutare.
Ho n+1 incognite x, y1...yn di cui l'unica che mi interessa determinare è la x.
Ho k equazioni del tipo (per j=1..k)
(x+somma(i=1..n) a(i,j)yi) q(j) = c(j)
ove a(i,j) può valere 0 oppure 1 ed è nota, e q(j), c(j) sono costanti dipendono ovviamente da j
Ho poi altre n equazioni del tipo (per i=1..n)
somma(j=1..k)a(i,j)yiq(j) = b(i)
ove a(i,j) e q (j) sono quelli di prima, e b(i) è una costante nota al variare di i
A questo punto devo trovare il valore di x a partire da
a(i,j),b(i),c(i)
Ci devo riuscire per stasera, che domani mattina devo consegnare... capirete la drammaticità della situazione :-)
Aiuto!!

Ho esattamente n+k equazioni quindi non capisco cosa dici... ti posso comunque garantire che il sistema ammette una ed un unica soluzione, che esiste sempre.
Lo so perché sono dati reali, e l'incognita che cerco è un concetto reale ben definito.

anche se a,b,c,q sono note le dovete considerare costanti letterali. Ossia sono note, ma non posso dire quanto valgono...il problema va risolto cosi...
k può essere minore o maggiore di n, non sono tra loro correlati.
La soluzione in x sarà ovviamente funzione di a,b,c,q

Sinceramente volevo trovare la x senza passare per le yi, ma mi sa che è impossibile...
male che vada mi toccherà risolvere prima le n equazioni con le yi e poi ricavarmi la x ... è che viene troppo lento come procedimento!!!

Ah dimenticavo, anche la somma
x+y1+...yn = S è nota!

Ci sono riuscito (spero!)
detti
S =x+y1+...+yn (noto)
T= somma(j=1..k) c(j) (nota)
P=somma(i=1..n) b(i) (nota)
Q=somma(j=1..k) q(j) (nota)
x = (S+T-P)/Q
Impossibile ma vero!!!

Cara Federica, non ti posso descrivere a(i,j), ti posso solo garantire che la soluzione c'è!!

Faccio notare comunque che in:
somma(j=1..k)a(i,j)yiq(j) = b(i)
l'unica incognita è la yi che NON dipende da j
Ossia è una equazione in UNA incognita e che quindi ha come soluzione yi= b(i) / somma(j=1..k)a(i,j)q(j)
Quindi molte delle cose che mi avete chiesto non hanno molto senso

Rettifico, la formula è
(T-P)/Q!!
Verifichiamo:
(T-P)/Q =
(somma( j=1..k) (x+somma(i=1..n) a(i,j)yi) q(j) -
somma(i=1..n)somma(j=1..k)a(i,j)yiq(j)
) / Q=

( Qx +
somma( j=1..k,i=1..n) a(i,j)yi q(j) -
somma(i=1..n)somma(j=1..k)a(i,j)yiq(j)
) / Q =

Qx/Q= x!!!!
Perfetto!!
Senza matrici inverse etc.
Tre somme e una divisione!!

Carissimo Myskin, come ho detto questo NON è un esercizio, sono dati REALI!! Non puoi dirmi che ho troppi dati... io ti do quelli che ho... poi sta a te usare quelli che ti servono...

Il VERO problema in effetti sta nel trovare la soluzione + semplice e rapida... spero di averla trovata!!

No tranquillo Myskin, non so perché pensi una cosa del genere, anzi, scusa se ho provato a rispondere ad una domanda fuori dalla mia portata...
Neanche questa era una sfida... davvero la devo finire per oggi...
Il problema è che l'algoritmo, dovendo girare come codice SQL doveva essere più semplice possibile... sei stato il più bravo comunque!!!

Forse il mio tono a volte è un po' brusco... sarà che tutto il giorno dirigo un team di 8 persone e sono costretto quindi ad essere molto deciso ed efficace nell'esprimermi.... :-)

Avevo sbagliato la traccia!!
Era:
yi+somma(j=1..k)a(i,j)yiq(j) = b(i)
e non
somma(j=1..k)a(i,j)yiq(j) = b(i)

Ecco perché a me era venuto
(S+T-P)/Q
Perché ora, quando faccio T-P
mi rimane Qx-y1..-yn
quindi mi sa pure che devo dividere per Q+1...
è l'orario, sono a pezzi!

Answer 1

Ciao gaetano, sono tornato da poco a casa..
in effetti è un problemastrano perchè hai troppi dati..
scusami se tu sai che
x + y1 +...+ yn=S e
yi(somma(j=1..k)a(i,j)q(j))=bi i=1..n

trovi che

somma(i=1..n)yi= somma(i=1..n) (bi / (somma(j=1..k)a(i,j)q(j)))

allora

x=S - somma(i=1..n)yi= somma(i=1..n) (bi / (somma(j=1..k)a(i,j)q(j)))

e le prime k equazioni possiamo dire che sono in un certo senso rindondanti..
Ho fatto una mia costatazione dovrebbe essere giusto in entrambi i modi allora..

ma ti ha infastidito prima il fatto che ho chiesto un aiuto su quell'esercio?
ripeto la mia richiesta non voleva essere un sfida ho semplicemente chiesto consigli perchè avevo un dubbio..

non ti devi scusare, io apprezzo molto persone come te che gli piacciono le sfide e cmq hai dimostrato di avere una mente maematica perchè anche senza conoscenze approfondite sei riuscito cmq ad impostare bene l'esercizio..

Answer 2

Alcune domande:
1-riesci a scrivermela in forma matriciale cosi' non ci perdo troppo tempo? (matrici e vettori e poi usando l'inversa di A dovrebbe essere semplice...sempre che esista)
2-questa matrice a_{i,j} come e' fatta, in particolare che rango ha questa matrice (se e' fatta solo da zero e uno con gauss deve essere semplicissimo trovarlo)?
Tu devi riuscire ad avere esattamente n+1 equazioni perche' altrimenti non hai speranze di trovare una soluzione unica (come sicuramente a te serve).
Il numero delle equazioni non e' n+k perche' dipende dal rango delle matrice. Ovvero se alcune equazioni sono una multiple dell'altra contano come uno (parlando come si mangia). Esempio x+y=1 e 2x+2y=2 mica ti permettono di trovare x e y perche' sono una sola equazione.

Ora devo scappare perche' sono a cena fuori e devo farmi bella (sono pur sempre una lady anche se matematica!:) )
Quando torno magari mi connetto e se non sono troppo ubriaca spero di esserti utile. Altrimenti in bocca al lupo!

Answer 3

hai detto che a(i,j) può valere 0 oppure 1 ed è nota. ma quando vale 1 e quando 0? inoltre un'altra cosa: k è > o < di n?

Answer 4

se k=n+1 il sistema lineare ha una sola soluzione che puoi trovare facilmente andando a scriverlo in forma matriciale: AX=B dove A è la matrice [1 a(1,1) a(1,2) ....], X è il vettore delle incognite [x y1 y2 ... yn], B è il vettore dei termini noti [c1/q1 c2/q2 ....]. la soluzione è X = A^-1 B dove A^-1 è l'inversa della matrice A. In pratica per trovare solo x ti serve calcolare la prima riga soltanto di A^-1.
se k se k>n+1 si deve applicare il metodo dei minimi quadrati per trovare le soluzioni che minimizzano un errore.

Answer 5

Dimmi che lavoro fai, così in caso di bisogno so come regolarrmi...