Dubbio su sommatoria..?

Question

Sommatoria di n che va da 0 a infinito di:
exp(-n/x)/ (n^2+x^2+sen(n))^a , x>0

Dire per quali a€R la serie:
1) Converge ad una f(x);
2) f(x) è integrabile secondo lebesgue tra 0 e +infinito.

A me viene:
1) per ogni a€R ( qui sono sicuro);
2) non esiste a€R t.c. f€L^1(0,+inf.). (qui ho un piccolo dubbio)
mi viene che per a>=1/2 è L^1(U(0)) e a< 1/2 è L^1(U(+inf))
con U intendo intorno, quindi non esiste..
ma sul testo dice a=1/2..
chi mi dice se c'è un errore sul testo oppure ho sbagliato qualcosa..
grazie per l'aiuto..

esatto anche a me viene così infatti per essere integrabile in+inf deve essere
2a>1 ---> a>1/2 ed essendo in U(0) a >=1/2 non esiste a ma sul testo mi da a=1/2 penso ci sia un errore.

Gaetano la mia non è una domanda per mettere alla prova..
Ma perchè c'è una contraddizione con il mio risultato del quale sono abbastanza sicuro e quello del testo, e quindi chiedevo un aiuto..
Per quanto riguarda la tua domando se dimostri che la serie converge per ogni x implica la convergenza puntuale ma non è detto che la serie converga uniformemente, possiamo dire che se la serie conv. unif. allora conv. punt. ma non il viceversa.

Poi il fatto che la serie conv. unif. non implica che sia int. su isiemi illimitati..
ad es.:
somma n da 0 a + inf di x^n/n! che sappiamo convergere a e^x non è int. ad es. su (0,+inf.)

Answer 1

Ciao.. secondo me è perche per x-->infinito hai a che fare con una funzione del tipo 1/((x^2)^a) che nn è integrabile secondo leb per a=1/2...

secondo me è cosi..

Answer 2

Ci ho riflettuto un pochino e per a=1/2 hai a che fare con una funzione del tipo
somma(n) exp(-n/x)/ (n^2+x^2)^(1/2)

che non è la serie armonica perché per qualsiasi x >0
exp(-n/x) è comunque un infinitesimo perché n tende a infinito quindi -n/x tende a - infinito quindi e^(-n/x) a 0.
Ossia è una minorante dell'armonica.
Credo sia quell'esponenziale la chiave di volta anche se non ho ancora capito bene come procedere
Ma forse quest'intuizione ti può essere d'aiuto, le tue conoscenze sono senz'altro superiori di gran lunga alle mie!!

Qual'è la condizione analitica che bisogna verificare affinché
somma(n) exp(-n/x)/ (n^2+x^2)^(1/2)
sia integrabile tra 0 e è infinito? basta dimostrare che converge per ogni x no?
beh fissato un x qualsiasi
somma(n) exp(-n/x)/ (n^2+x^2)^(1/2)
ha il carattere di e^-n / n se dimostriamo che la serie
somma(n) e^-n / n converge...
ok perché
lim (n->inf) (e^(-n+1)/(n+1)) / (e^-n/n) = 1/e < 1
Quindi la serie converge, e quindi f(x) per a=1/2 è una funzione integrabile
no?