comment démontrer que la fonction f(x)=(pi^x)-(x^pi) n'admet que deux racines réelles?

Question

Comme c'est un peu (voir trop) difficile d'étudier la signe de la dérivée de cette fonction pour ensuite étudier la variation de f, je cherche un autre moyen de prouver qu'il n'y a que deux racines distincts. mais je ne sais pas comment faire. pourriez vous m'aider s'il vous plait? merci

Answer 1

Natasha, il serait vraiment temps d'envisager à changer de filière !
Si les maths c'est pas ton truc, tu sais qu'il y a d'autres filières qui te conviendront mieux !

Answer 2

Soit la fonction y=ln(x)/x - ln(pi)/pi

y'=(1-ln(x)/x² ==> y'=0 ssi x=e

limite de y = -oo qunad x tend vers 0+
limite de y = -ln(pi)/pi quand x tend ver +oo

Voir tableau de variation

dans ]0,e[ y croit de -oo à 1/e -ln(pi)/pi
dans ]e,+oo[ y décroit de 1/e -ln(pi)/pi à -ln(pi)/pi

y est continue sur ]0,+oo[

elle passe d'une valeur négative (-oo) à une valeur positive (1/e -ln(pi)/pi) dans ]0,e[ et par suite elle s'annule une fois.

de même elle passe d'une valeur positive (1/e -ln(pi)/pi) à une valeur négative (-ln(pi)/pi) dans ]e,+oo[ et par suite elle s'annule pour une valeure de ]e,+oo[.

et voilà elle s'anulle deux fois

c'est équivalent à ton problème

y=0 ssi lnx/x-ln(pi)/pi=0 soit

pi*ln(x)=xln(pi)

x^pi=pi^x

x^pi-pi^x=0