come si determinano gli estremi assoluti di una funzione?

Question

determinare eventuali estremi assoluti della funzione (x^2+x) / x-3 nell'intervallo [-2 ; 2]

Answer 1

Per prima cosa osserva che la tua funzione e' continua (perche' in [-2,2] e' sempre diverso da 3) ed e' definita in un comptatto quindi per il Teorema di Weirstrass ammette massimo e minimo assoluti.
Tale massimo e minimo deve necessariamente cadere o in un punto stazionario (i punti in cui la derivata si annulla) o in un estremo dell'intervallo o nei punti di non derivabilita'.
Calcola la derivata
Df(x)=[(2x+1)(x-3)-1(x^2+x)/(x-3)^2=(x^2-6x-3)/(x-3)^2
la derivata esiste in tutto l'intervallo e quindi non ci sono punti di non derivabilita'.
Calcola i punti stazionari
Df(x)=0 se e solo se x^2-6x-3=0
quindi in
x=3+2\sqrt[3] (\sqrt[3] indica la radice quadrata di 3)
x=3-2\sqrt[3]
devi vedere se i punti stazionari cadono o no all'interno del tuo intervallo.
3+2\sqrt[3] >2 quindi lo scarti.
L'altro valore invece ti va bene (cade tra -2 e 2) ed e' quindi da considerare.
(ho fatto la verifica con uno dei due valori e torna ma in generale non ti fidare dei miei calcoli perche' sto ancora aspettando che venga su il caffe'!:)
Adesso ti resta solo da confrontare i valori che la funzione assume nei due punti stazionari e nei due estremi dell'intervallo
quindi confronta
f(3-2\sqrt[3] )=-(12-7\sqrt[3])/(\sqrt[3])=7-4\sqrt[3]
f(-2)=-2/5
f(2)=-6

Quindi il minimo assoluto e' -6 assunto in 2 e il massimo assoluto e' 7-4\sqrt[3] ed e' assunto in 3-2\sqrt[3].

Attento a non fare come Barry e considerare punti stazionari (Df(x)=0) che non cadono nel tuo intervallo.

Se non vuoi usare la calcolatrice (io ti consiglio di non usarla perche' calcola approssimando e quando i valori sono molto vicini puo' anche darti risultati errati per il tuo esercizio anche se effettivamente accade di rado) ti ricordo come puoi confrontare dei numeri irrazionali in maniera esatta.
Ex
3-2\sqrt[3]>-2 ?
porti le parte razionale dalla stessa parte
-2\sqrt[3]>-5
quindi
2\sqrt[3]<5
elevi al quadrato
4*3=12<25
che e' verificata quindi tornando indietro
la disuguaglianza era vera.
Se ottenevi che quella finale era sbagliata vuol dire che all'inizio valeva l'opposta!
Spero tu abbia capito. Buon massimi e minimi!

Answer 2

Trovi prima gli estremi locali con la classica derivata (è il valore della variabile y nei punti di minimo e massimo, ricorda che gli estremi di una funzione si riferiscono al suo codominio) e poi il valore che la funzione assume agli estremi dell'intervallo confronti i valori trovati e quello minimo e massimo fra questi valori sono gli estremi assoluti della funzione.

Nel tuo caso i valori agli estremi sono -2/5 e -6
Mentre gli estremi locali sono 4sqr(3) + 7 e 4sqr(3) - 7 ottenuti sostituendo 3 ± 2sqr(3) nella funzione di partenza essendo questi i valori che annullano la derivata prima. Quindi
4sqr(3) + 7 massimo assoluto essendo positivo
-6 minimo assoluto essendo 4sqr(3) - 7 solo leggermente minore di 0

Answer 3

devi prima studiare gli estremi relativi della funzione (studiare la derivata prima) e poi devi confrontare gli eventuali massimi e minimi ottenuti con i valori della funzione agli estremi, cioè f(-2) e f(2)
il massimo valore tra questi sarà il max ass e il minimo sarà il min ass.
occhio che se la funzione non è limitata nell'intervallo considerato, non ammette max e min ass (ma non è questo il caso) mentre se la funzione è limitata nell'intervallo considerato, ammette sempre max/min assoluti (t. di weierstrass)
prova

Answer 4

calcoli il limite della funzione a -2 e +2
cioè alle x sostituisci -2,risolvi la funzione e trovi il limite minimo
sostituisci e risolvi con +2 e trovi il limite massimo