Come si fa a calcolare il polinomio di Taylor?

Question

tra pochi giorni ho l'esame di analisi e tra le possibili richieste ci sarà calcolare il polinomio di taylor per esempio: di ordine 5 intorno allo zero per la funzione (x^2-2x)sin(x-x^2).... ma come si fa a calcolarlo????vi prego aiutatemi vorrei vedere almeno come si svolge un esercizio del genere...grazie!!!!

Answer 1

Intendere come polinomio P(x) di grado n che meglio approssima la funzione f(x) quello che ha lo stesso valore di f(x) e di tutte le derivate fino all'ennesima in un dato x0.

P(x0) = f(x0); P'(x0) = f'(x0); P"(x0) = f"(x0) ... P(n) = f(n)(x)

In altre parole deve essere:

P(x0) = f(x0); P'(x0) = f'(x0); P"(x0) = f"(x0) ... P(n) = f(n)(x)

Poichè il generico polinomio di grado n ha la forma

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

ho scritto n+1 equazioni algebriche lineari in n+1 incognite e il problema ammette dunque una sola soluzione, alla sola ovvia condizione che la funzione f(x) sia derivabile fino all'ennesimo ordine e che si conoscano tutti i valori per x = x0. Si dimostra che il polinomio di Taylor che meglio approssima f(x) è allora:

f(x0) + f'(x0)(x - x0)+ f"(x0)(x - x0)2/2! + f'''(x0)(x - x0)3/3! + ... + f(n)(xn)(x - x0)n/n!

Scegliendo x0 = 0 si ha un caso particolare, ma molto usato: il polinomio di McLaurin.

Answer 2

lo 0,1 % di quanto insegnatomi in anni e anni di scuola mi è bastato in una vita lavorativa, ma sta roba a caxxo serve nella pratica?

Answer 3

Per calcolare il polinomio di Taylor devi solo sostituire la funzione e le sue derivate nella formula generale che è questa: Tn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f"(x0)/2!)(x-x0)^2+(f"'(x0)/3!)(x-x0)^3+..... nel tuo caso n=5 , x0=0 , f=la tua funzione
Spero che ti possa essere d'aiuto...
Ah dimenticavo...dato che il tuo è di ordine 5 non devi fermarti al 3 (fino a dove ti ho scritto io) ma devi continuare a fare lo stesso fino al 5 ovviamente facendo le varie derivate (quarta e quinta) ,sostituendo al denominatore prima il 4 e poi il 5 fattoriale, e poi cambiando gli esponenti di (x-x0)...