Por 10 puntos, este pequeño problema?

Question

En un triángulo rectangulo ABC (recto en B) se inscibe un circuferencia de centro O y de radio "r" tangente a BC y AC en T y M respectivamente la prolongacion de AO interseca a MT en P, si MP/ r = K calcule el coseno del angulo C

Answer 1

CO es bisectriz de C porque el centro de la circubnferencia inscripta es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.
Como OT = OM = r, eñ triángulo TOM es isósceles OP debe ser altura , mediana y bisectriz del ángulo opuesto a MT, o sea P debe ser el punto medio de MT
Los triángulos OPM, rectángulo en P y OMC rectángulo en M (por condición de la tangente a una circunferencia que debe ser perpendicular al radio), son semejantes porque tienenun ángulo agudo común ; el COM, en consecuencia el MCO = OMP
MP/ r = cos OMP en el triángulo OMP

Por lo tanto cos MCO = MP / r

Pero MCO = C/2 (angulos, por supuesto)

cos (C/2) = MP/r

cos^2 (C/2) = MP^2 / r^2
sen^2 (C/2) = 1 - MP^2 / r^2

cos^2 C/2 - sen^2 (C/2) = MP^2 / r^2- 1 + MP^2 / r^2

cosC = 2 MP^2 / r^2 - 1

Answer 2

¿Cuáles son los valores conocidos? ¿AB, BC, CA; CM, CT, r, MP,...? ¿O tal vez la circunferencia es LA INSCRITA EN ABC, también tangente a AB y entonces O es el incentro, punto común de las bisectrices?

O nos da usted algo más o me temo que no vamos a poder responder.

Silvia G: valoro tu trabajo y el completo desarrollo que has hecho, pero con lo que nos dicen nada garantiza que P esté sobre la bisectriz de C, cosa que haría MP = PT. Por el contrario nos dicen que está alineado con AO, lo que hace imposible esa igualdad de segmentos, al no poder ser A, O, P y C colineales