puede un conjunto linealmente independiente contener el vector nulo?

Answer 1

si un conjunto contiene el vector nulo, entonces este es linealmente dependiente, por que su escalar no importa el calor el siempre sera nulo

Answer 2

no, es un conjunto ld

Answer 3

Es dependiente, porque puedes poner coeficiente cero a todos los vectores, y uno al vector cero (en realidad calquier escalar sirve para multiplicarlo por tu vector cero, menos el mismo escalar cero, por supuesto), y el resultado seguirá siendo cero. Entonces, ya encontraste una combinacion lineal, con al menos un coeficiente no nulo, y que da cero. Por lo tanto son lin. dep.

Saludos.

Answer 4

Un conjunto de vectores es LI cuando no podes escribir a ninguno de ellos como combinación lineal de los demás. Si prestas atencion, a cualquier vector del conjunto lo podes escribir como él mismo más el vector nulo (que no hace nada). Así que el conjunto es LD

Answer 5

La noción de independencia lineal es algo enredada, porque en realidad se define por negación del concepto de dependencia lineal.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si es posible escribir una combinación lineal de ellos que de resultado 0, mientras que al mismo tiempo algun coeficiente de dicha combinacion es distinto de 0

Así por ejemplo, en R3, los vectores (1, 1, 2) y (3, 3, 6) son linelamente dependientes porque, entre otras tantas posibilidades, se tiene la siguiente combinacion lineal:

15 . (1, 1, 2) + (- 5) . (3, 3, 6) = (0, 0, 0) = el vector 0 de R3

Ahora tomo dos vectores que sean linealmente independientes: (1, 0, 1) y (0, 2, 4).

Ellos dos son independientes, pero si les agrego el vector nulo (0, 0, 0), ahora puedo escribir la combinación lineal siguiente:

0 . (1, 0, 1) + 0 . (0, 2, 4) + 87. (0, 0, 0) = (0, 0, 0)

Los coeficientes de la combinación lineal son 0, 0 y 87,y claramente el 87 no es cero.

En vez de 87 puedo poner cualquier numero distinto de 0.

Y en general siempre pasa esto, que al agregar el vector nulo, el conjunto que tengo se me vuelve linealmente DEPENDIENTE, sin importar que los vectores que tenía antes eran o no dependientes o independientes.

Incluso el conjunto formado con el vector nulo como único elemento, es un conjunto linealmente DEPendiente, porque, por ejemplo, tengo esta combinación lineal no trivial de ese elemento solo:

87 . (0, 0, 0) = (0, 0, 0) = el 0 de R3.