Autovettori e Autovalori: il teorema spettrale?

Question

Potreste spiegarmi - con molti esempi pratici e chiari - il teorema della scomposizione spettrale?

Answer 1

Ciao

Enunciato Teorema(spettrale reale):
Sia V uno spazio vettoriale euclideo T:V--->V un operatore simmetrico. Esiste una base ortonormale di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta T è diagonale.

è un teorema molto importante e molto utile in pratica perchè ad esempio se hai una conica in E^2 o una quadrica in E^3 dopo aver traslato la tua conica o quadrica nell'origine tramite la ricerca degli autovettori individui una rotazione che porta la tua conica o quadrica nell'equazione canonica..
Queste sono solo due applicazioni ma ce ne sono molte altre meno banali ad esmpio per suerfici differenziabili diagonalizzando la relazione di Weingarten è possibile trovare le direzioni principali e le relative curvature principali..
Quindi come avrai intuito è un teorema molto importante ed elegante, nonostante la sua apparente semplicità.

P.S. questa è la versione per spazi vettoriale in un campo K, e se non sbagli anche a spazi infinito dimensioali vi è un teorema molto simile

P.P.S.
come dice federica prendi un buon libro di geometria e non fidarti troppo di wikipedia..qualche cavolata compare ogni tanto..

Answer 2

La tua domanda mi lascia perplesso perche o sei una studentessa ed allora dovresti avere un manuale di algebra dove questo teorema (uno dei più importanti) c'è con tanto di esempi oppure ....non hai capito...beh in tal caso dovresti studiare...mancandoti qualcosa...!!
Per cui parto dall'inizio..o quasi:
Dato uno spazio vettoriale V sul corpo K e sia A: V--V n operatore di V( applicazione lineare di V in V).
v di V è un AUTOVETTORE di A se esiste k di K t.c. Av = kv
esempi classici A una M.diagonale allora ogni vettore unità è un autovettore di A.
Se diamo f(x) = e^kx allora esso è un autovettore dell'operatore di derivazione d/dx infatti: de^kx/dx =k*e^kx

Ora il punto importante è che gli autovettori di A generano un sottospazio di V e che se gli autovalori sono distinti allora gli autovettori sono linearmente indipendenti
Questo si dimostra facilmente per induzione e tenendo conto che tutti gli autovettori che hanno uno stesso autovalore formano per se un sottospazio vettoriale.
Infatti se v1 e v2 di V tc Av1 = kv1 e Av2 = kv2 allora
A(v1+v2) = Av1 + Av2 = kv1 + kv2 = k(v1 + v2)
A(cv1) = cAv1 = ckv1 = kcv1

Inoltre Dato quanto prima k è un autovalore se e solo se (A - k*I) non è invertibile.
questo si dimostra facilmente.
inoltre esiste sempre per Dim V >= 1 un autovettore non nullo.

Segue che se abbiamo uno sv V su K e A:V--V ed esiste una base di V v1...vn formati dagli autovettori di Aaventi autovalori k1..kn allora la matrice associata ad A è la matrice diagonale degli k1..kn.

A questo punto abbiamo quasi tutto quello che ci serve per arrivare al nostro teorema spettrale ma manca ancora una cosa:
A operatore si dice simmetrico se
= =
se A è una matrice reale nxn possiede autovalori reali.

A questo punto sappiamo che in uno spazio V e un A dagli autovettore è possibile generare una base utilizzando gli autovalori con la condizione che siano lin. ind.

Allora dimostriamo il seguente: Sia A : V --V Operatore simmetrico se v è un autovettore di A e se w è perpendicolare a v allora Aw è perp. a v.
dim:
= = = k = 0

A questo punto il teorema: Dato A come prima allora si può trovare una base ortogonale di V costituita dagli autovettori di A.
Dim. per induzione.

Esempio: Data una matrice A = (2 1 ; 1 3) vogliamo trovare una base ortogonale in R^2.
Il polinomio caratteristico di A è det(x*I - A) per cui si ha f(x) = x^2 - 5x + 5 = 0 sul. x1 = (5+5^0,5)/ 2 e x2 = (5 - 5^0,5)/2
x1 e x2 sono gli autovalori:
Per cui A*(x y) = (x1 x2)*(x y)
risolvendo il sistema abbiamo l'autovettore v1 = (2 1 + 5^0,5)
lo spazio ortogonale a v1 ha dim 1 e sono tutti i multipli del vettore per. a v1.
Se scegliamo v2 = (2 1-5^0,5) si vede come v1 e v2 formano la base dello spazio V in R^2.

QED

Answer 3

Io ti consiglio di guardare sul libro di Geometria e algebra lineare (sul titolo non sono sicurissima ma almost!) di Abate perche' e' spiegato bene e ci sono molti esempi svolti in dettaglio.

Answer 4

credo tu ti riferisca al teorema che s'incontra in algebra I che in forma matriciale dice che: 'ogni matrice reale e simmetrica è ortogonalmente simile ad una matrice diagonale'.

Ti consiglierei di dare uno sguardo alle pagine di wikipedia: trattano bene il teorema spettrale e come usarlo per la riduzione in forma canonica delle coniche. Infatti, costruendo una rappresentazione matriciale opportuna delle coniche, grazie al teorema spettrale ci si può scrivere un metodo per sostanzialmente ruotare gli assi e quindi ridurre la conica in forma canonica (e questo perchè l'endomorfismo simmetrico che ci si inventa nella rappresentazione è reale e simmetrico e quindi può essere diagonalizzato).

(e comunque wikipedia è molto più chiara di me ;)