¿Qué métodos conocen para calcular el volumen en calculo integral?

Question

Recuerdenmelas por favor...
Recuerdo el método de las arandelas y de las envolventes...
Si no mal recuerdo hay varias más...
Gracias.

Answer 1

en mi carrera vi solidos en revolución
y el método del disco
es lo único que vien mi carrera

te envio lo siguiente:

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.


Método de los discos




.

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x.

, de aquí, deducimos que,

, por lo tanto

, dado que el volumen esta entre a y b,


De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos.

Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.


Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,


, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b].


Método de los casquillos cilíndricos

Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectángulo es:

V=2(radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)

de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:


Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.

VOLÚMENES POR REBANADAS

Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula:


donde , era el área de la sección circular y x el espesor del disco.

Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.

Por ejemplo encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir:


y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.

LONGITUD DE ARCO

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.

Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:


Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos punto

Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal que

a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b

Con esto, siendo , estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:


para:

y

podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:


tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común (x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:


ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:


o equivalente:


así, podemos decir que:


que realmente es equivalente a:


que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Ya hemos usado la integral definida para hallar volúmenes de revolución, longitudes de arco y áreas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular áreas pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolución, estas no son más que la superficie exterior de cualquier sólido de revolución.

Para poder calcular el área de una superficie de este tipo, es necesario primero saber como calcular el área superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.



Consideremos donde:

L: es la longitud del segmento

r: es la distancia de un extremo al eje de rotación

R: es la distancia del otro extremo al eje de rotación

Con los datos anteriores, podemos afirmar que el área del tronco de cono es:






Supongamos que la función f(X), , tiene derivada constante y gira alrededor del eje x. Sea una partición de [a,b] en subintervalos de anchuras xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud:


genera un tronco de área lateral, Si y la podemos definir como:


y por aplicación del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemos asegurar que se cumple que:

,

por lo tanto concluimos que:


Del mismo modo podríamos demostrar que, si la gráfica de f(x), gira alrededor del eje y, el área S, viene dada por:


y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotación podemos calcular el área de revolución.

Answer 2

Mira Volumen de una Esfera: formulation = 4(Pi)r elevado al cubo / 3 Si el radio es 5, entonces V=4(3.1416)(5)elevado al cubo "3" / 3 V= 1570 / 3 V= 523.3 unidades cúbicas ( cm, pulgadas, mm,etc. ) ok. espero te haya servido, las otras respuestas estan equivocadas. jmcg.

Answer 3

Se resuelven por medio de integrales triples, lo importante es saber como determinar los extremos, como se sabe en una integral definida de una sola variable los extremos son números, en las triples son funciones.
Una superficie esta en tre dimensiones por lo tanto se involucra x y z.
En el planteo de una integral triple la primer rama tiene como extremos funciones dependientes de dos variables, la segunda rama solo de una varialble y la tercera y ultima son constantes que si o si debe ser asi sino no se llega a un número que es lo que representa una volumen.
generalmente los volúmenes son esferas cilindros elipsoides, o intersecciones de estas últimas, que hacen complejo al ca´lculo en cuanto a su resolución por el método integral. por eso hay muchas propiedades para simplificar, por ejemplo el cambio de cooordenadas de cartesianas a polares, cilindricas o esféricas.
Por ejemplo sea el cilindro x2 + y2 = 4 que esta limitado por los planos Z=0 y Z=6. Bueno la grafica sería una especie de lata de gaseosa plana que si tomamos como dimensión el cm sería una lata de 6 cm de alto y un radio de 2 cm.
Ahora hallo el volumen en coordenadas cilindricas que es muy facil
Tiene como componentes = Z entre 0 y 6
Radio entre 0 y 2
Y el a´ngulo de barrido es entre 0 y 2 pi.

El elemento de volumen es Z dzdr d@

En la primer rama va de 0 a 6
En la segunda rama va 0 a 2
En la tercera rama va de 0 a 2pi.
Aplicamos las reglas de integración para integrales múltiples y resolvemos.
Notemos como se simplifico los extremos por medio del uso de coordenadas cilindricas, si se ubiera usado cartesianas hubieran quedado extremos en form ade funciones de x e y con raices que son complejas de integrar.

Answer 4

existen los siguientes métodos:
Áreas bajo y entre curvas.
Volúmenes de sólidos de revolución: Métodos de discos, arandelas, capas, secciones planas conocidas.
Longitud de arco. Área de una superficie.
Integrales impropias.