Condizione di Lipschitz?

Question

Perché la condizione di Lipschitz è necessaria per dimostrare l'esistenza e l'unicità di un equazione differenziale (di primo ordine)? Cosa implica una tale limitazione? Esistono equazioni differenziali che non rispettano tale condizione? (presumo di sì) Se si, qualche esempio?
Grazie mille in anticipo...

Scusate, l'esistenza e l'unicità della SOLUZIONE di un'equazione differenziale..

Answer 1

No quello che ho scritto e' scorretto perche' da abitudine ti ho parlato del problema di Dirichlet ma poi ho realizzato che forse tu parlavi di quello di Cauchy.
Sistemiamo la risposta!
La condizione di Lip non e' necessaria ma solo sufficiente. In generale e' praticamente impossibile trovare condizioni necessarie per esistenza o unicita'.
Anche quando ti esibiscono degli esempi che senza tale condizione il teorema non vale non vuol dire che il risultato implica tale condizione ma solo che e' una condizione buona (ovvero in qualche senso davvero legata al risultato e non solo alla tecnica di dimostrazione).
Travare condizioni piu' deboli o del tutto diverse da quelle che conosci per esistenza e unicita' occupa interamente la vita di molti matematici (tra cui la mia). In contesti generali la lip e' utile piu' che altro per ottenere unicita'.
Funzioni non Lip globalmente per esempio il quadrato.
Non lip localmente ma continue e' gia' piu' difficile. Un esempio la radice quadrata in 0 (questo tipo di funzioni si chiamano Holderiane se ti interessa saperne di piu').
L'esempio dell'equazione eiconale (|Du|=1) con condizione x=-1 e x=+1 e' molto importante perche' il valore assoluto e' la funzione Lip per eccellenza eppure tale problema non ammette una soluzione classica (ovvero C^1). Farlo vedere e' davvero facile. Tuttavia questo non e' un problema di cauchy (perche' come problema di cauchy e' sovradeterminato) ma e' fondamentale perche' ha dato luogo nell'ultimo secolo a molte definizioni di soluzioni deboli che riuscissero a risolverlo. La vittoria spetta alle soluzioni viscosita' (di cui mi occupo quindi faccio un po' di pubblicita'!:) ) che lo risolvono in modo unico.
Il problema e' complicato ma spero di averti un po' incuriosito nell'approfondirlo.

Answer 2

Ciao Pat
Quello che ha scritto Federica mi sembra corretto, però nella tua domanda chiedevi il perchè è necessario per la dimostrazine del teorema di esistenza e unicità.
Per la dimostrazione non è complicatissima però si fanno uso di spazi di banach, e possiamo dire convergenza di funzioni, si usa la condizione di lipschitz per poter usare il teorema delle contrazioni.
Per le altre domande ti do il famoso teorema di Peano:
Se f€C^0 (funzione continua), allora esiste almeno una soluzione in piccolo del problema di Cauchy(PC).
E ti do il Fenomeno di Peano:
Se la soluzione del PC non è unica, allora ne ho una famiglia non numerabile.
es:(Pennello di Peano)
y'=2(|y|)^1/2
y(0)=0
sol
y(x)=0
y(x)=x|x|
....
ce ne sono molte altre.