Cómo demuestro analíticamente que los intervalos (0,1) y (-infinito,infinito) tienen la misma cardinalidad?

Question

10 PUNTOS

Answer 1

necesitas una funcion biyectiva de (0,1) a (-infinito, infinito),
por ejemplo:
f(x) = tan pi(x-1/2) es esencialmente la tangente,
con estas modificaciones f: (0,1) -> (-infinito, infinito),
la inversa es:
y= tan pi(x-1/2)
arctan y = pi( x-1/2)
(arctan y)/pi = x-1/2
x= (arctan y)/pi + 1/2
f^{-1}(y) =(arctan y)/pi + 1/2

Answer 2

Utiliza el concepto de homotecia haciendo un circulo de radio una unidad que representará al segmento (0,1) y establece una relación homotetica con los puntos exteriores al círculo desde la izquierda a menos infinito y a la derecha a mas infinito. De esta manera demuestras que a cada punto del diamentro del circulo le corresponde un punto exterior del conjunto menos infinito a más infinito y a cualquier punto exterior le corresponde un punto de (0,1) por lo tanto ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad

Answer 3

Primero,consideremos (-pi/2,pi/2) y una funcion que "ayude",por ejemplo,f(x)=tgx
f:(-pi/2,pi/2)->R es biyectiva
Como lo queres de (0,1)->R,consideremos la funcion lineal g(x)=(pi/2)(x-pi/2)/(1-(pi/2))
g(0,1)->(-pi/2,pi/2) es biyectiva
Ahora,h(x)=f(g(x)) es biyectiva entre (0,1) y R