Integral de e^(-(x)^2) de menos infinito a infinito?

Question

Hola, ya habia planteado una pregunta parecida, pero aqui la planteo para no dar pie a ninguna mal interpretacion.
Necesito resolver la integral de e^(-x^2) de menos infinito a infinito. No puedo usar metodos como los de Gauss o el de Simpson devido a que la integral es impropia (intervalos infinitos), y se que hay una forma con series de Taylor pero no recuerdo bien como, agradeceria mucho a quien me diera bien la idea de como se hace, es algo trabajoso, lo se, pero tendra sus 10 puntos asegurados.

Gracias de nuevo.

que bien, he visto muchos metodos que no habia visto nisiquiera, aunque todavia no veo el de series de Taylor, y creo que el que plantearon hasta ahora esta mal planteado puesno creo que se pueda sustituir x = a^2 y dejar la sumatoria cambiando solo esto pues es exponencial. Ya daré el puntaje, estoy esperando que más puede llegar, por series de Taylor definitivamente seria genial.

Answer 1

Esta integral se puede resolver por comparación con la integral de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal.
La distribución normal con media cero y varianza 1 tiene como fdp a f(x) = (1/(raíz(2pi))e^(-(x^2)/2). Como toda fdp, su integral entre menos y más infinito da 1.
Ahora, para resolver tu integral, hay que empezar con un cambio de variable para lograr el 1/2 en el exponente. Entonces hacemos x = u/raíz(2) ==> dx = du/raíz(2)
Ahora tenemos para integrar (1/raíz(2))e^(-(u^2)/2)
Para que nos quede de la forma de la normal, nos falta dividir por raíz(pi), y claro, multiplicar por lo mismo para no alterar la igualdad.
Tenemos entonces: raíz(pi)*[(1/raíz(2pi))e^(-(u^2))/2)] integrado entre menos y más infinito. La parte entre corchetes da 1, así que el resultado que vos buscás es raíz(pi)

Espero ahora haberte ayudado, en la anterior pregunta el exponente lo habías puesto positivo y no habías dicho que los límites de integración eran entre menos y más infinito.

Más información: La integral que vos pedís calcular se llama integral de Gauss. Existen varias maneras de calcularla en forma exacta si recurrir al "truco" que yo te menciono. La que yo conozco es un poco complicada de explicar acá (hay que hacer "aparecer" una integral doble, acotarla por encima y por debajo y usar el teorema del sanwich o de estricción). Te dejo un link a wikipedia donde está todo bastante explicado

http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Está en inglés, porque el artículo en castellano no existe.

Answer 2

No sé si esto te sirva, pero a mí me enseñaron a resolverla con el siguiente "truco".

1) Toda la integral la elevas al cuadrado.
2) Ahora, la separas en una multiplicación de dos integrales, ambas desde menos infinito hasta infinito, solo que en la primera integrarás (e^(-x)^2)dx, y en la segunda (e^(-y)^2)dy. Esta multiplicación es igual a la integral original al cuadrado. Esto se puede hacer porque sabemos de antemano que las dos integrales, aún teniendo variables distintas, por realizarse desde menos infinto hasta infinito, van a tener el mismo resultado.
3) Ahora, esa multiplicación de integrales se convierte en una integral doble de menos infinito hasta infinito de (e^(-x^2-y^2))dxdy.
4) Lo siguiente, y que es lo que más me gusta de esto, es pasar la integral a coordenadas polares. Recoradrás que r^2 = (x^2 + y^2), entonces -r^2 = (-x^2 - y^2). Y la multiplicación de diferenciales dxdy = rdrdtheta
5) Con esas igualdades la integral doble queda como: re^(-r^2) drdtheta, con los límites de integración desde 0 a infinito para los dr, y desde 0 a 2pi para los dtheta.
6) Esa es una integral fácil de resolver, y el resultado será pi.
7) Ahora, no hay que olvidar que originalmente elevamos la integral al cuadrado, así que el resultado que obtuvimos no es el que buscamos. Es necesario sacarle raíz, de manera que la respuesta final será la tan esperada raíz de pi.

No sé si esto te sirva para lo que sea que tengas que hacer, pero para algo te podrá servir eventualmente si es que no lo sabías ya. Mucho éxito.

Answer 3

segun el viejo taylor


e^x=sumatoria[n=0 hasta infinito x^n/n! para todo x


pero como aqui x=-a^2

e^(-a^2)=sumatoria[n=0 hasta infinito (-a^2)^n/n!


=sumatoria[n=0 hasta infinito (-a)^2n/n!]

int(e^(-a^2))=int[sumatoria[n=0 hasta infinito (-a)^2n/n!]]

int(e^(-a^2))=sumatoria[n=0 hasta infinito 1/n! .int((-a)^2n

recuerda como te enseñaron a integrar a principio de calculo; asi que la integral será (-a^(2n-1))/2n-1 y bueno.... eso es lo mas complicado .Ya te puedes guiar

Answer 4

Hola!
Debes de realizar la sustitucion y=e^(-x^2), sacar logaritmo natural a ambos lados, para obtener una espresion mas simple.
Luego, como es un aintegral impropia , divide en dos intervalos: desde menos infinito hasta 0 y 0 hasta +infinito, cambias los limites de integracion.Luego realizas la integracion de esos dos intervalos.El resultado debe ser como e a la algo..

Answer 5

no te serviría hacer una sustitución universal saca u du v y dv y sale la integral general, luego la evalúas en los limites

Answer 6

Pues es relativamente simple debes usar L'Hopital y hacer la integracion en dos partes desde a hasta infinito
y desde - infinito hasta a

Muy bien Issac!

Answer 7

son las dos de la madrugada... despues de un intenso dia de estudio... ahora no me puedo poner a pensar eso! esq no me saldria ni a la de 3!!!!!!!! sorry! :(